Introduction à la trajectographie S. Procureur (CEA-Saclay) 11/12/08

Avant propos - Sujet très vaste… Impossible de traiter tous les aspects en détails - … et généralement perçu comme rébarbatif - Les exemples sont tirés du code de reconstruction de CLAS12 Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Table des matières 1. Introduction & motivation 2. Algorithmes de fit des trajectoires 2.1 Méthode des moindres carrés (LSM) 2.2 Le filtre de Kalman (KF) 2.3 Développements récents Effet du bruit de fond – recherche de traces Autres aspects de la trajectographie 4.1 Reconstruction de vertex 4.2 Alignement de détecteurs 5. Conclusion Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Introduction & motivation  Indispensable dans la plupart des expériences  Démarre dans les années 50 (chambres à bulles)  Développements importants dans les années 80 (LEP, puis RHIC)  Regain d’intérêt depuis ~10-15 ans (LHC) Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

L’exemple le plus naturel: méthode des moindres carrés (LSM) Algorithme de fits But: correspondance entre des mesures et un vecteur d’état: Le vecteur d’état contient les paramètres de la trajectoire: 4 paramètres sans champ B (e.g. x, y, ux, uy à z constant) 4+1 paramètres avec champ (e.g. q/p en plus) L’algorithme doit satisfaire: minimum L’exemple le plus naturel: méthode des moindres carrés (LSM) Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Méthode des moindres carrés La mesure est une fonction connue, linéarisable du vecteur d’état La matrice de covariance (erreur) associée à m est V; dans le cas idéal: (matrice des poids) On peut alors former le ² de manière standard: La minimisation s’écrit: Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Méthode des moindres carrés Dans certains cas, on peut directement évaluer le ² et le minimiser numériquement (par exemple avec Minuit), sans linéariser le problème  exemple: champ uniforme (hélice) et détecteurs cylindriques Application au tracker central de CLAS12 Résolutions presque aussi bonnes qu’avec le filtre de Kalman (sauf si diffusion multiple) Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Méthode des moindres carrés Points forts de cette méthode:  Estimation sans biais et de variance minimum  Méthode relativement rapide… dans le cas idéal (sans diffusion multiple) Points faibles:  Avec diffusion multiple: W n’est plus diagonale! Matrice NxN à inverser  Risque de biais si inhomogénéités de champ et/ou de matière Ces 2 problèmes peuvent être évités en mettant à jour la position de la particule après chaque mesure…  Fit progressif, ou filtre de Kalman Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Filtre de Kalman Estimateur récursif, développé par R. Kalman en 1961 Extraction d’information à partir d’une série de mesures bruitées Utilisé pour la 1ère fois sur le programme Apollo, puis dans les systèmes de suivi (radar), navigations (GPS), contrôle, etc… Utilisé pour la trajectographie à partir des années 80 (Billoir, Frühwirth, 84-85) Le traitement de la diffusion multiple est aisée, car elle s’identifie à un processus de bruit Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Formalisme du KF  Point de départ: le vecteur d’état et sa matrice de covariance  Extrapolation jusqu’à la mesure suivante:  Mise à jour de la position (par minimisation du ²): Scattering matter Avantage évident: nécessite l’inversion de matrices 5x5 seulement! Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Initialisation du KF - Tracker central (collisionneur): Mesure à rayon ~constant  Champ généralement homogène (solénoïde)  estimation de avec une hélice - Tracker vers l’avant (cible fixe): Mesure à z ~constant  Champ quelconque  paramétrisation de  [deg] Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Diffusion multiple et KF La diffusion multiple peut être facilement prise en compte dans le KF Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Pertes d’énergie et KF (Bethe-Bloch) Les pertes d’énergie par passage dans un matériau sont bien connues… (Bethe-Bloch) … et peuvent être facilement implémentées « step by step » dans le KF Exemple de CLAS12, avec: DC (argon) Air FST (silicium + fibres de carbone) Cible (LH2) Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Résultats typiques Simulation du tracker central de CLAS12 Permet de confirmer les performances attendues / optimiser un spectromètre Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Développements récents Le filtre de Kalman fait l’hypothèse que toutes les erreurs sont gaussiennes… ce qui n’est pas toujours le cas (ex: pertes d’énergie par bremsstrahlung) Gaussian Sum Filter (GSF) ~ plusieurs KF en parallèle Avec le LHC, besoin d’algorithmes dédiés à la recherche et au fit de trajectoires dans un environnement extrêmement bruité Deterministic Annealing Filter Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Bruit de fond – recherche de traces Jusqu’ici, nous avons complètement négligé le problème de trouver une combinaison de mesures pouvant provenir d’une particule! Un grand nombre de méthodes existent, parmi lesquelles: Dictionnaire de traces / template matching (potentiellement très lent) Très peu robustes Réseaux de neurones (nécessite un entrainement préalable) Filtre de Kalman (sensible à l’initialisation) Elastic arms: N hits dans un événement, M bras (arms) ~ param de traces, NM unités de décision sia. Mia est la distance au carré entre un hit i et un bras a. On cherche à minimiser: Méthodes « maison », adaptées aux spécificités d’un spectromètre Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Recherche de traces dans CLAS12 Point de départ (10% d’occupation dans les DC): Recherche de traces candidates (motifs) Recherche de route(s) dans chaque cluster Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Track finding 1) Find clusters (in each superlayer) 2) Find track segments (in each region) 3) Find track candidates ( 3 regions) Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Find roads in clusters Starting point: : wire with signal Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Find roads in clusters Step 0: fit using wires only (and large errors) reject some hits solve some L/R ambiguities L R L R L : wire with signal Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Find roads in clusters Step 0: fit using wires only (and large errors) reject some hits solve some L/R ambiguities L R Step i: fit using wires, or drift dist. if L/R solved R L  solve more L/R ambiguities R L R : wire with signal Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Find roads in clusters Step 0: fit using wires only (and large errors) reject some hits solve some L/R ambiguities L R Step i: fit using wires, or drift dist. if L/R solved R L  solve more L/R ambiguities R L R : wire with signal Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Small probability of mistake (~10%), increase with background Find roads in clusters Step 0: fit using wires only (and large errors) reject some hits solve some L/R ambiguities Step i: fit using wires, or drift dist. if L/R solved  solve more L/R ambiguities Step N(=4): reject bad hits, solve all L/R : wire with signal Small probability of mistake (~10%), increase with background Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Effet du bruit de fond Détériore la résolution Événements DVCS de Geant4 (tracker central): e+pe+p+ Production de traces fantômes Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

 Montre une augmentation plus rapide au-delà d’un certain taux Effet du bruit de fond Nombre de traces candidates en fonction du taux de bdf  Montre une augmentation plus rapide au-delà d’un certain taux Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Effet du bruit de fond Ce comportement s’explique en étudiant la fraction de traces voisines à la trace initiale 120 MHz 200 MHz 400 MHz 280 MHz Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Vertex fit - Vecteur d’état et sa matrice de covariance: Lorsque toutes les trajectoires d’un événement ont été reconstruites, il faut associer celles qui peuvent l’être et estimer la position du vertex Algorithme très similaire à un filtre de Kalman - Vecteur d’état et sa matrice de covariance: - « Extrapolation » jusqu’à la « mesure » suivante (nouvelle trajectoire): - Mise à jour du vecteur d’état: … Difficulté potentielle: qk, Dk ne sont pas forcément exprimés avec les mêmes paramètres! (exemple tracker central et vers l’avant) Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Vertex fit Comment passer d’un jeu de paramètres à un autre? Par exemple: Naïvement: Mais une variation de z produit aussi une variation de x et y: Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Vertex fit Calculs similaires pour la transformation: Il faut ensuite linéariser la relation: « mesure » Avec: Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Alignement Des désalignements dégradent la reconstruction de trajectoires dégrade la résolution du spectromètre (impulsion, angle, masse) biais sur la reconstruction diminue l’efficacité de reconstruction Pour une trace donnée j, on définit le résiduel dans le détecteur i comme: : param de la trace : param d’alignement Si désalignements du détecteur i: exemples: Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Temps en Nx43+(3Ndet)3, au lieu de (3Ndet+4N)3 Alignement Le ² de la trace s’écrit: On utilise alors un échantillon de N traces et l’on minimise la somme de leur ²: Matrice (3Ndet+4N)x(3Ndet+4N) à inverser! On peut donc obtenir les paramètres d’alignement en inversant: N matrices de dimensions 4x4 1 matrice de dimension (3Ndet)x(3Ndet) Temps en Nx43+(3Ndet)3, au lieu de (3Ndet+4N)3 Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur

Conclusion Sujet assez technique (nombreux algorithmes) Comment faire une bonne trajectographie? connaissance des détecteurs (physique) alignement des différents éléments d’un spectro (détecteurs, aimant, cible) contrôle du bruit de fond (choix de l’algorithme) Introduction à la trajectographie 11/12/2008 S.Procureur