5.1 Systèmes d’équations linéaires Dimitri Zuchowski et Marc-Élie Lapointe

Dans cette section, nous verrons Les systèmes d’équations linéaires La méthode de Gauss-Jordan Les matrices ERL Le lien entre les SEL et les intersections de droites et de plans

Définition: Définition: Une équation linéaire est n’importe quelle expression de la forme: où et les sont des variables. Définition: Une solution de l’équation linéaire est un n-uplet tel que Résoudre une équation linéaire revient à trouver l’ensemble de toutes ses solutions.

Définition: Définition: Un système d’équations linéaires est un ensemble d’équations linéaires. On met une accolade au début pour les délimiter. Les indices ici servent à indiquer à quelle variable et à quelle équation un coefficient appartient. Définition: Une solution d’un système d’équations linéaires est un n-uplet qui est solution de chaque équation du système.

Le système d’équations Exemple: Le système d’équations linéaires suivant a comme solution car et

On a vue comment résoudre un système d’équations linéaires à deux équations et à deux inconnues ainsi qu’à trois équations et à trois inconnues à l’aide de la règle de Cramer. On aimerait avoir une méthode pour résoudre des systèmes d’équations à n équations et à m inconnues.

Qu’est-ce qu’on peut faire avec une équation sans changer l’ensemble solution?

Pour comprendre la méthode, regardons ce qu’on peut faire à un système d’équations sans changer l’ensemble solution. 1. Interchanger deux équations 2. Multiplier une équation par une constante

3. Additionner à une équation un multiple d’une autre.

Lorsqu’on résout un système d’équations, tout le travail ce fait sur les coefficients des variables et sur les constantes. On ne perd pas d’information sur le système d’équations linéaires si l’on ne conserve que ces nombres. Matrice des coefficients Matrice augmentée

Par contre, on doit les traduire en opération Pour résoudre le système, on peut utiliser les trois opérations qu’on vient de voir et qui ne modifient pas l’ensemble solution. Par contre, on doit les traduire en opération sur les lignes des matrices.

1. Interchanger deux lignes 2. Multiplier une ligne par une constante non nulle 3. Additionner à une ligne un multiple d’une autre.

Faites les exercices suivants p.173 # 1 et 2

Pour résoudre un système, on utilise les opérations ligne pour obtenir un système équivalent dont la solution est facilement lisible.

La méthode de Gauss-Jordan consiste à résoudre un SEL jusqu’à obtenir une matrice ERL (definition à venir). Définition: Repérer la première ligne non nulle. Multiplier la ligne par une constante pour que le premier élément devienne 1. Se servir de cette ligne pour mettre des zéros sous le 1. On refait les étapes 2 et 3 en descendant. On reprend les étapes 2 et 3 en remontant.

Trouver l’ensemble solution de

Éventuellement, vous serez tenté de faire plus d’une opération ligne à la fois. Généralement, il n’y a pas de problème à faire ça, mais vous ne devez pas faire une opération ligne sur une ligne que vous venez de changer.

Donc, il y une infinité de solutions, mais... Exemple: Donc, il y une infinité de solutions, mais... Il n’y en a qu’une!

Trouver les paramètres a, b et c de la parabole passant par les points

Pour quelles valeurs de x et de y l’équation 0 = 8 est-elle vérifiée? Aucune! Donc, le système d’équations linéaires n’a pas de solution.

La deuxième équation est toujours vraie donc inutile. Donc, les points de cette droite forment l’ensemble solution du système d’équations.

Interprétation géométrique Deux droites dans le plan Une solution de ce système est un point de l’intersection de ces deux droites. Deux droites parallèles distinctes Deux droites parallèles confondues Deux droites sécantes Il y a une solution unique. Il n’y a pas de solution. Il y a une infinité de solutions.

Trois plans dans l’espace Il y a une solution unique. Il n’y a pas de solution. Il y a une infinité de solution.

De façon générale on a que : Si n est le nombre d’équations du système et m est le nombre de variables. De façon générale on a que : 𝑛>𝑚 Aucune solution ou solution unique 𝑛=𝑚 Solution unique 𝑛<𝑚 Infinité de solutions Des exceptions existent…

On fait quoi avec ça?

Il y a donc une infinité de solutions. Il suffit de poser une des variables égale à un paramètre. Prenons par exemple d’où Ou, si on préfère, l’intersection de ces deux plans est la droite:

Faites les exercices suivants p.174, # 8, 10 et 12

Variation dans la valeurs de chaque action et du portefeuille Exemple: Une personne achète un portefeuille d’actions composé d’un certain nombre de 3 types d’actions. Variation dans la valeurs de chaque action et du portefeuille Année Action A Action B Action C Portefeuille 1 -1$ -2$ 0,50$ -100$ 2 1$ 1,50$ 200$ Peut-on trouver le nombre de chaque type d’action dans le portefeuille : Si on précise qu’il contenait 60 actions de type A ? Si on precise qu’il contenait 200 actions de type B ?

Devoir: p.173, #1, 2, 8 à 13

Définition: Remarque: Un système d’équations linéaires est dit homogène si toutes les constantes sont nulles. Remarque: Les systèmes d’équations linéaires homogènes ont toujours au moins une solution.

On a vu comment associer une matrice à un système d’équations linéaires. On a aussi vu comment faire des opérations ligne sur la matrice qui ne change pas l’ensemble solution du système d’équation qui lui est associé. Maintenant essayons de classifier les formes des matrices qui sont associé à des systèmes d’équations linéaire résolut.

Définition: Une matrice est dite échelonnée réduite ligne (ERL) si Le premier coefficient non nul d’une ligne est un 1 (on nomme ce coefficient le pivot). 1. Le pivot d’une ligne est toujours à droite des pivots des lignes au-dessus. 2. Tous les coefficients de la colonne du pivot sont nuls. 3. Toutes les lignes nulles doivent se trouver en bas. 4. Exemple:

Définition: Proposition: Deux matrices, A et B sont dites ligne-équivalente (l-équivalente) si B peut s’obtenir de A par une suite finie d’opérations lignes. On écrit alors; Proposition: Si et avec et des matrices ERL, alors En d’autre terme, toutes matrices est l-équivalente à une unique matrice ERL.

Définition: Exemple: Remarque: Soit A, une matrice et E, sa matrice ERL l-équivalente. Le rang de A, noté r(A) est le nombre de lignes non nulles de E. Exemple: Remarque: Le rang d’une matrice est égal à son nombre de pivot.

Faites les exercices suivants p.174 # 3, 4 et 5

Faites les exercices suivants p.174, # 7

Trois plans dans l’espace Il y a une solution unique. Il y a une infinité de solution. Il n’y a pas de solution. Solutions Rang

Déterminer la position relative des plans suivants Exemple: Déterminer la position relative des plans suivants si a=1 ? si a=2 ? Parallélisme des vecteurs normaux Déterminant Résolution

Faites les exercices suivants p.180 # 1 à 7

Dans la dernière section, nous avons vu Les systèmes d’équations linéaires La méthode de Gauss-Jordan Les matrices ERL Le lien entre les SEL et les intersections de droites et de plans

Devoir: p.173, # 1 à 13. p. 180, # 1 à 7.

Problèmes : 1a) Trouver l’angle entre 𝑃 2 et 𝑃 3 . 1b) Trouver la position relative des trois plans. 𝑃 1 a comme vecteurs directeurs (0,-1,2) et (1,0,3) et passe par le point (1,1,-4) 𝑃 2 contient la droite 𝑥,𝑦,𝑧 = 1,0,4 +𝑡 0,−1,−4 et le point (0,1,8) 𝑃 3 est perpendiculaire au vecteur (2,0,-1) et passe par le point (0,1,-2) 1a) Angle = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 −1 17 5 1b) P1 : -3x+2y+z=-5 P2 : -4y+z=4 P3 : 2x-z = 2 Les plans s’intersectent selon une droite d’équation (x,y,z)=(1,-1,0) + k ( 2,1,4). (schéma manquant). 2a) Non parallèle et aucun point d’intersection car …. 2b) Le point sur D1 est (0,3/2,3/2) et sur D2 le point est (1,2,3) et les droites sont à 14 /2 de distance. 2a) Vérifier que les deux droites suivantes sont gauches. 2b) Trouver la distance entre les deux droites et les points de chaque droite qui sont les plus près. 𝐷 1 : 𝑥−1 2 = 𝑦−1 −1 = 𝑧−1 −1 𝐷 2 : 𝑥,𝑦,𝑧 = 2,3,2 +𝑘(1,1,−1)