Théorie de la production 1-803-96 Analyse microéconomique B02 et J10 automne 2005 Guillermo Yanez Cours schématique Théorie de la production 1

Thèmes abordés Les facteurs de production Les horizons temporels La production à court terme Production à long terme: les isoquantes Les rendements à l’échelle Exemples

Que cherchons-nous à comprendre? Le comportement du producteur Objectif ultime du producteur : maximiser ses profits sous sa contrainte de coûts Il faut donc comprendre: Comment le producteur prend ses décisions: quels facteurs de production employer et en quelles quantités afin de minimiser les coûts? Comment les coûts varient en fonction de la production? 2

Comment allons-nous procéder? Présenter la production, identifier les phénomènes qui l’affectent à court et à long terme, et en déduire ses principales caractéristiques. Présenter les coûts, la manière de les comptabiliser, leur comportement selon l’horizon temporel considéré et selon le niveau de production (chapitre 7). Le choix de la combinaison optimale de facteurs de production (chapitre 7) Utiliser les notions précédentes pour comprendre comment la firme détermine son niveau de production et son prix de vente dans différentes structures de marché (chapitres 8,10, 11 et 12).

1. La technologie de production Qu’est-ce que la production? ↓ Transformation des matières premières et des biens intermédiaires en biens et services à l’aide de facteurs de production Quels sont les facteurs de production? le travail, i.e. l’ensemble des ressources humaines l’entrepreneurship  L le capital, i.e. machines, bâtiments, équipement  K La terre,  T. On va exclure celle-ci et la fusionner avec le K.

La fonction de production Comment exprimer le lien qui existe entre les facteurs de production et la quantité produite? ↓ La fonction de production ● La fonction de production décrit la relation entre la quantité produite d’un bien et les quantités des différents facteurs nécessaires à sa fabrication. ● La fonction de production décrit ce qui est techniquement réalisable si la firme utilise de manière efficace ses facteurs de production. Ceci est représenté par la fonction f(·)

À quoi la fonction de production servira-t-elle? ↓ Elle aide le producteur à choisir la quantité de K et L Mais les choix du producteur sont limités par l’horizon temporel envisagé Exemple : Ford veut augmenter la production Embaucher davantage de travailleurs (↑L) : réalisable rapidement Construire une nouvelle usine ou installer une nouvelle chaîne de montage (↑K) : peut nécessiter plusieurs années Il faut donc distinguer Court terme vs Long terme

2. Les horizons temporels Long terme Tous les facteurs de production (K et L) sont variables. Horizon suffisamment long pour changer les capacités de production. Ex : modifier les technologies de production dans une usine. Court terme Seul un facteur de production varie (L) tandis que l’autre est maintenu constant (K)  K est fixe. Les capacités de production sont constantes. Variation de l’utilisation des capacités de production. Remarque Il est impossible de déterminer dans l’absolu à quelles durées correspondent le court terme et le long terme. Ces durées varient selon les situations. (Ici on ne peut pas se fier aux conventions comptables) 2

3. La production à court terme Puisque la seule manière d’augmenter la production est d’augmenter L. ↓ Combien de travailleurs embaucher? Quelle quantité produire? Pour pouvoir répondre à ces questions, il faut déterminer comment la production augmente (ou diminue) quand le nombre de travailleurs augmente (ou diminue). 2

La production à court terme Tab. 6.2 La production à court terme Remarques: La production totale (PT) augmente avec le nombre de travailleurs. Au début, la production totale augmente rapidement Ensuite la croissance est plus lente. Elle atteint un plafond à 112 unités lorsque la firme emploie 7 ou 8 travailleurs. Elle baisse lorsque la firme augmente encore le nombre de travailleurs L K PT (Q) PM (Q/L) Pm ΔQ/ΔL 10 - 1 2 30 15 20 3 60 4 80 5 95 19 6 108 18 13 7 112 16 8 14 9 12 -4 100 -8

Fig. 6.2 La production totale (PT) décrit l’évolution de la production en fonction de l’utilisation du facteur variable L 8 L 112 60 3 Croissants Décroissants B D A Q A  B : La production augmente plus rapidement que le nombre de travailleurs. Pourquoi? Grâce à la division et à la spécialisation du travail. B  D : La production augmente moins rapidement que le nombre de travailleurs. Pourquoi? Comment expliquer que les bénéfices de la spécialisation et de la division du travail ne soient pas constants?

Fig. 6.2 La productivité moyenne (PM) décrit l’évolution de la contribution moyenne du facteur variable L à la production 8 L 112 60 3 B D A Q/L La productivité moyenne pour un point quelconque correspond à la pente de la droite reliant l’origine (0,0) et ce point sur la courbe de production totale

Fig. 6.2 La productivité marginale (Pm) : variation de la production totale suite à l’ajout d’une unité de facteur variable. Reflète la contribution du travailleur additionnel à la production totale. Pm = f’(L) Pm = ΔQ / ΔL 8 L 112 60 3 B D A Pm = dPT/dL C Pente = 0 Q La productivité marginale pour un point quelconque correspond à la pente de la tangente à ce point sur la courbe de production totale

PM = Pm au point où PM atteint son maximum Fig. 6.2 L Q 60 B C D 8 10 20 E 3 4 30 112 PM Pm PT Remarques: PM = Pm au point où PM atteint son maximum Pm = 0 quand PT atteint son Maximum Si Pm > PM, alors PM augmente Si Pm < PM, alors PM diminue Si Pm = PM, alors ΔPM =0 De 0 au point d’inflexion : Pm augmente et PT augmente de plus en plus vite Entre B et D : Pm diminue et la PT augmente de moins en moins vite.

↓ (voir exemple 1) ►Pourquoi les courbes ont-elles ces formes? ► Pourquoi la PT n’augmente-t-elle pas toujours au même rythme que le nombre de travailleurs ► Pourquoi la Pm n’est-elle pas constante? ► Pourquoi la Pm augmente-t-elle pour ensuite diminuer? ↓ Loi des rendements marginaux décroissants À court terme, si on combine un facteur de production variable (L) à un facteur de production fixe (K), il existe un point au-delà duquel la production totale va croître à un rythme sans cesse décroissant (i.e contribution additionnelle suscitée par l’ajout de facteurs variables est de plus en plus faible  la productivité marginale diminue). (voir exemple 1)

Fig. 6.3 Remarques : 1- La loi des rendements marginaux décroissants n’est pas liée à la qualité du travailleur. Les rendements sont décroissants parce que l’utilisation du facteur fixe est limitée, et non pas parce que les travailleurs sont moins bons. 2- La loi des rendements marginaux décroissants s’applique pour un niveau donné de technologie. Les améliorations technologiques amènent un déplacement vers le haut de la fonction de production. Ceci signifie que l’on peut produire davantage avec le même nombre de travailleurs. L PT Q1 Q2 Q3 y1 y2 y3 L1 L2 L3

4. La production à long terme Tab. 6.1 4. La production à long terme Puisque les deux facteurs de production K et L sont variables: Ceci signifie que la production peut être réalisée avec différentes combinaisons de K et L L K 1 2 3 4 5 20 40 55 65 75 60 85 90 100 105 115 120

Que désire le producteur? Choisir la combinaison optimale de facteurs (K*, L*) pour produire une quantité donnée au coût le plus bas Choisir la combinaison optimale de facteurs (K*, L*) pour produire la plus grande quantité pour un coût donné La démarche? Développer un outil pour représenter la production dans un contexte de long terme (l’isoquante) Identifier les propriétés de cet outil Comprendre comment un facteur de production peut être substitué à un autre tout en maintenant constant le niveau de production Vérifier comment la production évolue quand tous les facteurs de production augmentent dans les mêmes proportions

L 5 2 3 1 A D Q = 75 F K L’isoquante Une isoquante est le lieu des points représentatifs des combinaisons de K et L qui permettent d’obtenir le même niveau de production Note : Comme il existe un certain degré de substituabilité entre les facteurs de production, cette isoquante est appropriée dans le cas d’une fonction de production Cobb-Douglass.

K L Mais une firme n’est pas limitée à un seul niveau de production. Fig. 6.6 Mais une firme n’est pas limitée à un seul niveau de production. Elle peut choisir entre un grand nombre de niveaux de production Une carte d’isoquantes K E K5 K3 A B C Q3 = 100 D Q2 = 75 K1 Q1 = 55 L L1 L2 L3

Les propriétés des isoquantes Chaque isoquante est associée à un niveau de production donné. Plus le niveau de production est élevé, plus l’isoquante correspondante est éloignée de l’origine Les isoquantes ont une pente négative : pour que le niveau de la production soit constant, quand le capital employé baisse, il faut utiliser plus de main-d’œuvre. Les isoquantes ne se coupent jamais (parallélisme) : Si A = B et A = C alors B = C  impossible ! K C B L PT = 100 PT = 200 A

Les propriétés des isoquantes (suite) Les isoquantes sont convexes par rapport à l’origine. La convexité signifie qu’il n’y a pas parfaite substituabilité entre K et L, car la Pm des facteurs est décroissante. 6. Les isoquantes reflètent la loi des rendements marginaux décroissants. Pour K constant, chaque unité supplémentaire de L permet d’augmenter PT de plus en plus faiblement. Également, pour L constant, chaque unité supplémentaire de K permet d’augmenter PT de plus en plus faiblement. L K D B C A PT = 100 E L K D B C A PT=55 PT=75 PT=90 3 1 2 3

Taux marginal de substitution technique (TMST) Nous savons qu’il faut augmenter K si L diminue pour maintenir la production constante Question Si le nombre de travailleurs diminue de 1, combien d’unités de K faut-il ajouter pour maintenir le niveau de production constant. En d’autres termes, à quel taux pouvons-nous substituer un facteur de production à un autre? Solution La pente en un point sur l’isoquante indique le taux auquel un facteur de production peut être remplacé par un autre sans changer le niveau de production ↓ Taux marginal de substitution technique (TMST)

Que représente le TMSTLK ? Fig. 6.7 Que représente le TMSTLK ? Le TMSTLK mesure le nombre d’unités d’un facteur de production que l’on doit ajouter ou retrancher afin de maintenir le niveau de production constant, après avoir retranché ou ajouté une unité de l’autre facteur de production. 2 3 4 5 1 L K -2 -2/3 TMSTLK = 2 TMSTLK = 2/3 Q1 = 100 A B D TMSTLK = - ΔK / ΔL (Cas discret i.e quand on ne possède pas la fonction de production. On dispose uniquement d’observations) C

TMSTLK = - dK/ dL TMSTLK = pente de la tangente en un point sur l’isoquante en valeur absolue (Cas continu : cas où l’on connaît la fonction de production Q = f(K,L)) TMSTLK A L K PT = 100 B

TMSTLK = - dK/ dL mais aussi TMSTLK = PmL/PmK Preuve De A vers B il y a perte de Q Perte = -K • PmK De B vers C il y a gain de Q Gain = L • PmL Or, Perte = Gain puisque le niveau de production reste constant ► -K • PmK = L • PmL ► -K/ L = PmL /PmK Donc TMSTKL= PmL /PmK mais PmL = dQ/dL et Pmk = dQ/dK Ainsi TMSTKL = - (dQ/dL) / (dQ/dK) TMSTKL = PmL/Pmk = - dK/dL Q2 Q1 L A C B K K L

(voir exemple 2) Les propriétés du TMST L’augmentation d’un facteur de production nécessite la diminution de l’autre pour maintenir la production constante. Ainsi, on fait précéder le TMST d’un signe négatif afin que sa valeur soit toujours positive. 2) Le TMST est une notion ponctuelle. Il se calcule pour un point bien précis de l’isoquante et change à tous les points. 3) Le TMST correspond à la pente de la tangente à l’isoquante en valeur absolue. 4) Nous savons que les isoquantes sont convexes par rapport à l’origine. Ainsi, la pente de la tangente en un point de l’isoquante diminue (en valeur absolue) lorsqu’on se déplace de gauche à droite le long de l’isoquante. Puisque TMST = pente de la tangente à l’isoquante en valeur absolue, il s’ensuit qui le TMST diminue lorsqu’on se déplace de gauche à droite le long de l’isoquante (voir exemple 2)

Des isoquantes un peu particulières Nous venons de présenter les isoquantes et le TMST dans le cas d’une fonction Cobb-Douglas. Mais différentes formes de fonction de production signifient également différentes isoquantes et différents TMST.

Des isoquantes un peu particulières (suite) Fig. 6.8 Des isoquantes un peu particulières (suite) 1) Fonction de production linéaire ►► isoquantes linéaires. L K Q1 Q2 Q3 A B C Le taux auquel on peut remplacer un facteur de production par un autre ne varie pas lorsqu’on se déplace le long de l’isoquante ↓ Les facteurs de production sont parfaitement substituables Le TMST est une constante

Des isoquantes un peu particulières (suite) Fig. 6.9 Des isoquantes un peu particulières (suite) Fonction de production de Leontief ►► isoquantes en forme de L Chaque niveau de production nécessite une combinaison précise de K et L ↓ Il est impossible de remplacer un facteur de production par un autre. Ils doivent être employés en proportions fixes Les facteurs de production sont de parfaits compléments L K L1 K1 Q1 Q2 Q3 A B C

5. Les rendements à l’échelle Nous savons qu’à long terme tous les facteurs de production sont variables ↓ On pourrait donc changer le niveau de production en changeant l’échelle de production, c’est-à-dire en faisant varier tous les facteurs de production dans les mêmes proportions Question À quel rythme la production augmente-t-elle si tous les facteurs de production augmentent dans les mêmes proportions? La production va-t-elle augmenter proportionnellement, plus que proportionnellement ou moins que proportionnellement ? Réponse Tout dépend des rendements à l’échelle

Que représentent les rendements à l’échelle? La réaction de la production à un accroissement simultané de tous les facteurs de production (K et L) dans une même proportion Les rendements à l’échelle peuvent être : Constants Croissants Décroissants (voir exemple 3)

Les rendements à l’échelle constants Fig. 6.11 Les rendements à l’échelle constants La production s’accroît proportionnellement à l’augmentation des facteurs de production Si on modifie l’échelle de tous les facteurs de production d’un certain facteur t, la quantité produite est multipliée par t. La taille de la firme n’affecte pas la productivité des facteurs L K 10 20 30 15 5 2 4 6 Comment expliquer les rendements à l’échelle constants?  Il est en principe possible pour une firme de reproduire ce qu’elle fait déjà

L Les rendements à l’échelle croissants Fig. 6.11 Les rendements à l’échelle croissants La production s’accroît plus que proportionnellement à l’augmentation des facteurs de production Si on modifie l’échelle de tous les facteurs de production d’un certain facteur t, la quantité produite est multipliée par plus que t K L 10 20 30 5 2 4 Comment expliquer les rendements à l’échelle croissants?  Spécialisation de l’entreprise et division des tâches. Raisons techniques.

Les rendements à l’échelle décroissants Fig. 6.11 Les rendements à l’échelle décroissants La production s’accroît moins que proportionnellement à l’augmentation des facteurs de production Si on modifie l’échelle de tous les facteurs de production d’un certain facteurs t, la quantité produite est multipliée par moins que t La taille de la firme réduit la productivité des facteurs L K 10 13 18 5 2 4 Comment expliquer les rendements à l’échelle décroissants?  Complexification de la structure organisationnelle et problèmes de gestion liés à la production à grande échelle

Les formes algébriques des fonctions de production 1) La fonction de production linéaire : Q = f(K, L) = aK + bL Dans ce cas, les facteurs de production sont de parfaits substituts. Il y a une relation linéaire parfaite entre les facteurs de production et la production totale réalisée. Ex : Q = f(K,L) = 4K + L Cette expression mathématique signifie que K est 4 fois plus productif que L. Si K = 5 et L = 2 alors Q = 4(5) + 1(2) = 22

Les formes algébriques des fonctions de production (suite) 2) La fonction de production de Leontief (fonction de production à proportions fixes) (Fonction semblable à l’utilité dans le cas des biens complémentaires, aux chapitres précédents): Q = f(K, L) = min (bK, cL) Dans ce cas, les facteurs de production sont nécessairement utilisés dans des proportions fixes. Aucune substitution n’est possible entre les facteurs de production. Ils sont de parfaits compléments. Ex : Q = f(K,L) = min (3K; 4L) Si K = 5 et L = 2 alors Q = min (3(5),4(2) = min (15,8) Ainsi, 5K et 2L permettent de produire 8 unités

Les formes algébriques des fonctions de production (suite) La fonction de production de Cobb-Douglas : Q = f(K, L) = AKaLb Dans ce cas, la relation entre les facteurs de production et Q n’est pas linéaire et, contrairement à la fonction de Leontief, il n’est pas nécessaire d’utiliser K et L dans des proportions fixes. Cette fonction assume un certain degré de substituabilité entre les facteurs de production. Ex : Q = f(K,L) = 2K1/2L1/2 Si K = 9 et L = 4 alors Q = 2(9)1/2(4)1/2 Ainsi, 9K et 4L permettent de produire 12 unités

Exemples

Exemple 1: Une municipalité entreprend de transformer un terrain vague en parc de villégiature et doit embaucher des travailleurs afin de procéder au nettoyage du terrain. Les données suivantes ont été recueillies : Nombre de travailleurs Superficie nettoyée (mètres) 2 200 3 360 4 500 5 620 1. La productivité moyenne lorsque 3 travailleurs sont embauchés est de : a) -140 m b) 120 m c) 160 m d) 260 m La productivité marginale du troisième travailleur est de : La loi des rendements marginaux décroissants : a) ne s’applique pas, car la PM est toujours croissante b) ne s’applique pas, car la Pm est toujours croissante c) s’applique, car la PM est décroissante d) s’applique, car la Pm est décroissante Réponses : 1) b; 2) c; 3) d

Exemple 2 On considère la fonction de production Cobb-Douglas: Q = f(K,L) = K1/2 L1/3 Soit K = 4 (facteur fixe). Déterminer la production totale et la productivité moyenne de L Soit K = 1. Posons L = 8. Calculer la production correspondante On augmente la quantité de L d’une unité. Déterminer l’augmentation de la production qui en résulte. Même question si on augmente la quantité de L de 0,1 unité. Calculer la productivité marginale de L.

Réponses: On considère la fonction de production Cobb-Douglas: Q = f(K,L) = K1/2 L1/3 1) Q = PT = 41/2 L1/3 = 2L1/3 PML = Q/L = 2L1/3/L PML = 2L-2/3 2) a) Q = 11/281/3 Q = 81/3 = 2 b) ΔL = 1 ou L = 9 → Q = 91/3 = 2,08 donc si ΔL = 1 alors ΔQ = 0,08 c) ΔL = 0,1 ou L = 8,1→ Q = 8,11/3 = 2,00829 donc si ΔL = 0,1 alors ΔQ = 0,00829

Réponses (suite) d) PmL = dQ/dL = 1/3K1/2L-2/3 Puisque K = 1 PmL = dQ/dL = 1/3L-2/3 Si L = 8, alors PmL = 1/3 * 8-2/3 = 0,083 Ainsi, ΔQ/ ΔL se rapproche de PmL quand ΔL diminue

Exemple 3 Soit la fonction de production Cobb-Douglas: Q = f(K,L) = 6K2/3L1/2 Calculer le TMSTLK Q est-elle homogène? Si oui, en déduire la nature des rendements à l’échelle. Rappel : une fonction est dite homogène de degré « m » si, pour tout nombre réel strictement positif t, l’égalité suivante est respectée : f(tx, ty) = tm f(x,y),

Réponses a) Nous savons que TMSTLK = PmL/PmK et PmL = dQ/dL PmK = dQ/dK PmL = ½ 6K2/3L1/2 -1 PmL = 3K2/3L-1/2 PmK = 2/36K2/3 -1L1/2 PmK = 4K-1/3L1/2 3K2/3L-1/2 3K TMSTLK = PmL / PmK = --------------- = ----------- 4K-1/3L1/2 4L

les rendements à l’échelle sont croissants! Réponses (suite) b) Q = f(K,L) = 6K2/3L1/2 Q* = f(tK, tL) = 6(tK)2/3(tL)1/2 Q* = f(tK, tL) = 6 t2/3 K2/3 t1/2 L1/2 Q* = f(tK, tL) = t7/6 6 K2/3L1/2 Q* = t7/6 *Q Q est donc homogène de degré 7/6. Ainsi, si t = 2 (i.e. si on double tous les facteurs de production) Q* = 2,24Q → On double la quantité de facteurs de production et le niveau de production fait plus que doubler les rendements à l’échelle sont croissants!