Information, Calcul, Communication Ce videoclip produit par l’Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne fait partie de son cours d’introduction à l’information, à la communication, et au calcul. Il s’inscrit dans le 2e module du cours qui porte sur les notions d’échantillonnage et de reconstruction de signaux puis introduit les notion d’entropie et de compression de signaux. Information, Calcul, Communication 2. Information & Communication – Leçon 1: Echantillonnage Clip 3: Fréquences O. Lévêque, commentaire: P. Janson

Plan de la leçon 2.1 Signaux Fréquences, bande passante, spectre Filtrage Echantillonnage Fréquence d’échantillonnage Le second clip de cette leçon introduit les notions de fréquences, de bande passante, et de spectre

Fréquences – Unité de mesure La fréquence f contenue dans la sinusoïde pure X(t) = a sin(2πft + δ) s’exprime en hertz = Hz = 1/sec Un signal dont la fréquence est de f Hz se répète toutes les T = 1/f sec Ex: La note « la » à 440 Hz est une sinusoïde pure qui se répète toutes les 1/440 = 2.2727... ms Cette unité de mesure a été baptisée d’après Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894), à qui on doit: La vérification expérimentale de la théorie de Maxwell affirmant que la lumière est une onde électromagnétique Le premier système permettant l’émission et la réception d’ondes radio 1 Toute sinusoïde pure représentée par la X(t) = a sin(2πft + δ) est caractérisée par une fréquence f Cette fréquence s’exprime en hertz, noté Hz, une unité de dimension sec-1. 2 Dire d’un signal que sa fréquence est de f Hz signifie que ce signal repasse par les mêmes valeurs toutes les 1/f sec. La grandeur T = 1/f est ce qu’on appelle la période du signal. P.ex. la note musicale « la » à 440 Hz est donnée par une sinusoïde pure qui se répète toutes les 440e de sec. soit toutes les 2.2727... ms. 3 Le Hz a été baptisé d’après Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894), à qui on doit en outre 1°/ la vérification expérimentale de la théorie de Maxwell affirmant que la lumière est une onde électromagnétique, et 2°/ le premier système permettant l’émission et la réception d’ondes radio.

Fréquences – Ordres de grandeur Ondes sonores: 20 Hz – 20 kHz: sons audibles >20 kHz: ultrasons Ondes électromagnétiques: 150 kHz – 3 GHz: ondes radio 3 GHz – 300 GHz: micro-ondes, radar 300 GHz – 4.3 x 1014 Hz: infrarouge 4.3 x 1014 Hz – 7.5 x 1014 Hz: lumière visible 7.5 x 1014 Hz – 3 x 1017 Hz: ultraviolet 3 x 1017 Hz +: rayons X, rayons γ, rayons cosmiques ... Pour donner quelques exemples des ordres de grandeurs des fréquences qu’on rencontre plus ou moins couramment: 1 Les ondes sonores présentent des fréquences entre 20 Hz et 20 kHz. L’oreille humaine ne capte pas les fréquences en dehors de ces limites. Des ondes sonores au-delà de 20 kHz constituent les ultrasons que peuvent percevoir les chiens ou les chauves-souris mais pas les humains. 2 Les ondes électromagnétiques présentent des fréquences au-delà de 150kHz. De 150 kHz à 3 GHz on trouve les ondes radio et télévision; De 3 GHz à 300 GHz on trouve les micro-ondes et les ondes radar; De 300 GHz à 4.3 x 1014 Hz, ce sont les ondes infrarouges; De 4.3 x 1014 Hz à 7.5 x 1014 Hz on est dans le domaine de la lumière visible; De 7.5 x 1014 Hz à 3 x 1017 Hz on est passé dans l’ultraviolet; Au-delà de ces 3 x 1017 Hz on arrive dans les rayons X, les rayons γ, et autres rayons cosmiques ...

NB: tous les «la» ne sont pas les mêmes Il est à noter en passant que toutes les ondes de même fréquence (et même amplitude) ne sont pas les mêmes. En effet un la sinusoïdal pur présente une fréquence pure. 1 Par contre la même note jouée sur une guitare ou un piano est certes dominée par la même fréquence de 440 Hz mais sa sonorité est enrichie de fréquences secondaires que nos oreilles perçoivent fort différemment. 2 + 3 D’après http://www.yuvalnov.org/temperament/

Bande passante Revenons aux sommes de sinusoïdes X(t) = a1 sin(2πf1t + δ1)+ . . . +an sin(2πfnt + δn) => On définit la bande passante de ce signal comme B = fmax = max {f1, . . . , fn} => Cette bande passante joue un rôle primordial en traitement de signaux 1 Comme suggéré antérieurement, un signal périodique, sonore ou autre, est en effet une somme de sinusoïdes et pas nécessairement une sinusoïde pure. 2 On appelle la bande passante d’un tel signal l’écart entre la plus basse et la plus haute des fréquences qu’il renferme. 3 Comme nous allons le voir cette notion de bande passante va jouer un rôle capital dans les questions de traitement des signaux.

Spectre = Autre représentation graphique utile d’un signal dans « l’espace des fréquences » : axe horizontal = fréquences présentes axe vertical = amplitudes correspondantes Exemple avec une somme de sinusoïdes X(t) = a1 sin(2πf1t + δ1)+ . . . +an sin(2πfnt + δn) Venons-en enfin à la notion de spectre. 1 Le spectre d’un signal est une autre façon de représenter ce signal graphiquement dans un espace plan dont l’axe des abscisses repère les fréquences présentes dans ce signal et l’axe des coordonnées donne leurs amplitudes respectives. 2 Si on considère par exemple notre signal somme de plusieurs sinusoïdes, son spectre est constitué par la figure représentée ici.