Préparation à l’examen Connaissances

Quoi étudier pour le test « RAPPORT ET TAUX » Comparer des rapports et des taux : , , = (JAUNE p. 6, 8, 10 et 11; BLANC#48 à 51) Reconnaitre une situation proportionnelle d’une situation qui n’en est pas une (BLANC#38 à 40) Savoir faire la différence entre un rapport et un taux (BLANC#20 et 48) Trouver des rapports ou des taux équivalents (BLANC#34, 35) Retrouver les mesures réelles ou celles du plan (BLANC#31, 32, 36, 41, 42) Établir un ou des rapports à partir d’un énoncé (P.51#1 et P.53#8 manuel, BLANC#27, 30) Transformer des unités de mesures (km en cm ou heures en minutes) Utiliser des proportions (retour à l’unité, facteur de changement, coefficient de proportionnalité, procédé additif ou produit croisé) pour résoudre un problème (P.57 manuel, BLANC #37, 43, 45, 46)

Proportionnalité   Les situations A, B, D, H sont des situations proportionnelles (fractions équivalentes).

Proportionnalité 6: 10 = 9:15 a) 3 et 8 b) 5 et 3 c) 12 et 75   a) 3 et 8 b) 5 et 3 c) 12 et 75 6: 10 = 9:15 a) 7 et 8 b) 10 et 9 c) 32 et 15

Le prix d’un plein d’essence et la quantité d’essence achetée L’âge d’une personne et sa taille entre 15 et 40 ans Le prix du plein d’essence et le prix de la voiture Le nombre de doigts d’un enfant selon son âge Le prix de raisins et le poids de ceux-ci Le prix d’un livre et son épaisseur La taille d’une enveloppe et le nombre de timbres qu’on doit y apposer Le temps requis pour peindre une clôture et le nombre de personnes qui participent LES SITUATIONS PROPORTIONNELLES SONT: 1 ET 5

Comparaison de taux Émilie a trois tasses devant elle. La tasse A contient 12g de sel et 100ml d’eau. La tasse B contient 19,5g de sel et 150ml d’eau. La tasse C contient 27,5g de sel et 250ml d’eau. Détermine quelle tasse contient la solution la plus salée. Un peintre a créé deux teintes de couleur orangée tel qu’indiqué ci-dessous: Teinte A: 150ml de colorant rouge dans un litre de peinture jaune Teinte B: 100ml de colorant rouge dans 500ml de peinture jaune. Laquelle des deux teintes est la plus foncée? La tasse B est la plus salée car 19,5÷150 = 0,13g/ml ce qui est plus grand que les 2 autres La B car il y a 0,2ml de rouge par 1 ml de jaune et la A en a moins.

Calculs de rapports Dans le garde-robe de Simon, le rapport entre le nombre de chandails et de pantalons est de 5: 2. Combien y a-t-il de chandails dans le garde-robe de Simon? Est-il possible qu’il y ait 20 vêtements dans ce garde-robe? Est-il possible qu’il y ait 49 vêtements dans ce garde-robe? Dans le garde-robe de Jeanne, il y a 12 chandails et 4 pantalons. Donne le rapport réduit de cette situation. Qui a le plus de vêtements? On ne sait pas Non car 5 + 2 = 7 et 20 n’est pas un multiple de 7 Oui car 49 est un multiple de 7 3 : 1 On ne peut le savoir. Simon a peut-être 5000 chandails et 2000 pantalons…

Les numéros suivants sont tirés de Netmath Les numéros suivants sont tirés de Netmath. Il est possible que vous les ayez déjà essayés. Ne pratiquez que ceux qui vous posent problème.

Conversion: 3240 𝑡𝑜𝑢𝑟𝑠 1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒 = 3240 𝑡𝑜𝑢𝑟𝑠 60 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒𝑠 = 54 𝑡𝑜𝑢𝑟𝑠 1 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒

Transformons pour avoir des taux équivalents 13,30$ 12 𝑏𝑜𝑖𝑡𝑒𝑠 = 143,64$ 144 𝑏𝑜𝑖𝑡𝑒𝑠 Les taux sont différents.

Photo Shop: Retour à l’unité: 1,98$÷18=0,11$ Studio Lumière: Retour à l’unité: 2,40$÷20=0,12$ Il est plus économique de faire affaire avec Photo Shop.

Il ne s’agit pas d’une situation proportionnelle, car les taux ne sont pas égaux. 7,6÷2=3,8 9,1÷3=3,0 3 Alors le coût pour 11 km sera 4,60$+11×1,50=21,10$

Il y a 52 semaines dans une année. Le coût sera 52×1200=62400$

Librairie Bray-Rizt 1,68$÷6=0,28$ Fais-moi-un-dessin 4,20$÷20=0,21$ Il est plus économique d’aller chez Fais-moi-un-dessin.

Comparons tous les choix en calculant le nombre de personnes par spectacle. 10728 spectateurs en 12 spectacles: 10728÷12=894 13888 spectateurs en 32 spectacles: 434÷32=434 2601 spectateurs en 3 spectacles: 2601÷3=867 4932 spectateurs en 6 spectacles: 4932÷6=822

Calculons le taux unitaire pour chacune des situations: 110$ en 22 heures: 110÷22=5$/ℎ𝑒𝑢𝑟𝑒 232$ en 29 heures: 232÷29=8$/ℎ𝑒𝑢𝑟𝑒 42$ en 14 heures: 42÷14=3$/ℎ𝑒𝑢𝑟𝑒 54$ en 3 heures: 54$÷3=18$/ℎ𝑒𝑢𝑟𝑒 C’est la situation de 42$ gagné en 14 heures qui revient à un taux horaire de 3$/h.

Regardons combien de parts contiennent une recette de vinaigrette: 12+3+6=20 Calculons le facteur de changement 168÷20=8,4 Il faut parler de « parties » et dire pourquoi « tout à coup » on parle de tasses. La réponse est 50,4 TASSE. × 8,4 Quantité de vinaigrette 20 168 Quantité de jus de citron 6 50,4

Problèmes de proportions

Problèmes de proportions Hugo désire s’inscrire à des cours de guitare. Sachant que 3 heures de cours coûtent 45$, combien de cours d’une heure pourra-t-il se payer avec 105$ ? Poser la proportion 45$ = 105 $ 3h ? Résoudre avec la méthode de notre choix 45$ = 105 $ 45 x ? = 3 x 105 3h ? 45 x ? = 315 ? = 315 ÷ 45 ? = 7 cours d’une heure

Problèmes de proportions Un locataire a payé 1272$ pour 4 mois de loyer. Sachant qu’il a signer un bail de 18 mois, quel montant devra-t-il débourser? Poser la proportion 1272$ = ? 4 mois 18 mois Résoudre avec la méthode de notre choix 1272$ = ? $ 1272 x 18 = 4 x ? 4 mois 18 mois 22896 = 4 x ? 22896 ÷ 4 = ? 5427$ pour 18 mois = ?

Problèmes de proportions Détermine le temps consacré à l’étude de chacune de ces matières durant une année scolaire de 180 jours si, au cours d’une semaine de 5 jours, un élève consacre en moyenne… 3h30 au maths 2h45 au français 2h12 à l’anglais 1h55 aux sciences

Problèmes de proportions Il faut d’abord décider de: convertir les heures en minutes… ou de convertir les minutes en heures! 3h30 au maths c’est 3h donc 3,50 ou 3,5 hres 1 2 45 60 3 4 75 100 2h45 au français c’est 2h donc 2h donc 2 soit 2,75 hres 12 60 2 10 2h12 à l’anglais c’est 2h donc 2 soit 2,2 hres 55 60 1h55 aux sciences c’est 1h donc 1,92 hres

Problèmes de proportions Ensuite, on utilise le raisonnement proportionnel de notre choix. Façon « retour à l’unité » 3,5ℎ 5 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠 = 0,7ℎ 1 𝑗𝑜𝑢𝑟 = 126ℎ 180 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠

Problèmes de proportions Façon « facteur de changement » 2,75ℎ 5 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠 = 99ℎ 180 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠 X 36

Problèmes de proportions Façon « produit croisé » 2,2 x 180 = 5 x ? 396 = 5 x ? 396÷5 = ? 79,2h = ? 2,2ℎ 5 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠 = ? ℎ 180 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠

Problèmes de proportions Façon « coefficient de proportionnalité » 5 ÷1,92 = 2,6041666… (gardez ce nombre dans la calculatrice) 180 ÷ 2,6041666… = 69 h 1,92ℎ 5 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠 = ? ℎ 180 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠

Problèmes de proportions On paie 10,08$ pour un poulet de 2,1 kg. Combien paiera-t-on un poulet de: 2,5 kg 1,4 kg Quelle est la masse d’un poulet dont le prix est de: 15,36$ 7,68$

Problèmes de proportions On paie 10,08$ pour un poulet de 2,1 kg. Combien paiera-t-on un poulet de: 2,5 kg 1,4 kg 10,08$ 2,1 𝑘𝑔 = ?$ 2,5 𝑘𝑔 Méthode « produit croisé » 10,08 x 2,5 = 2,1 x ? 25,20 = 2,1 x ? 25,20÷2,1 = ? Méthode « retour à l’unité » 12$ 10,08$ 2,1 𝑘𝑔 = 𝟒,𝟖𝟎$ 1 𝑘𝑔 = 𝟔,𝟕𝟐$ 1,4 𝑘𝑔 X 1,4

Problèmes de proportions On paie 10,08$ pour un poulet de 2,1 kg. Quelle est la masse d’un poulet dont le prix est de: 15,36$ 7,68$ 10,08$ 2,1 𝑘𝑔 = 15,36$ ? 𝑘𝑔 Méthode « produit croisé » 10,08 x ? = 2,1 x 15,36 10,08 x ? = 32,256 ? = 32,256÷10,08 Méthode « retour à l’unité » ? = 3,20 kg X 1,6 10,08$ 2,1 𝑘𝑔 = 𝟒,𝟖𝟎$ 1 𝑘𝑔 = 7,68$ 1,6𝑘𝑔

La distance entre Francfort et Cologne est de 190km dans la réalité La distance entre Francfort et Cologne est de 190km dans la réalité. Quelle distance les sépare sur cette carte? Sur cette carte, la distance entre Munich et Berlin est de 78,8cm. Quelle distance, en km, les sépare dans la réalité? 25,3cm On peu mettre 190km en cm et ensuite diviser par 750 000. La réponse sera en cm puisqu’on a mis 190 en cm au départ. 25,33cm entre Francfort et Cologne 190km entre Munich et Berlin 591 km On multiplie 78,8 par 750 000. Ça nous donne la distance réelle… en cm. On converti en km.

Ton voisin a fabriqué ce modèle réduit. a) Le modèle mesure 19,1cm de long. Quelle est la longueur de cette voiture dans la réalité? 458,4cm ou 4,584 m On n’a qu’à multiplier par 24 (tout est 24 fois plus grand dans la réalité selon la boite) Longueur de la vraie voiture: 458,4 cm ou 4,584m Pour la roue: 2,9 cm (dans la réalité, le diamètre de la roue est de 27 à 29 po (source, S. Girard) b) Si une roue a un diamètre de 69,6 cm dans la réalité, quel est le diamètre d’une roue sur son modèle? 2,9 cm On divise par 24 pour avoir la mesure sur le modèle.

DES PARTS La compagnie a 2 + 5 + 6 = 13 parts au total. Mégane reçoit 2 de ces 13 parts. Le rapport réduit est 2 : 13

DES PARTS La compagnie a 6 + 7 + 8 = 21 parts au total. Alicia 6 de ces 21 parts. Le rapport est 6 : 21 et le rapport réduit est 2 : 7

Le partage des profits Marc, Mélissa et Tania ont réalisé un projet commun qui a permis d’amasser des profils de 11 250$. Le rapport des investissements de Marc et de Mélissa est de 10 : 13. Celui de Mélissa et de Tania est de 13 : 7. Quel sera la part des profits de chacun, si on respecte la proportion des investissements de départ? Comme Mélissa a le même nombre de parts dans les deux rapports, le total de parts à partager est 10+13+7= 30 parts. Les profits de Marc seront :   𝟏𝟎 𝟑𝟎 ×𝟏𝟏𝟐𝟓𝟎=3750$   Les profits de Mélissa seront :   𝟏𝟑 𝟑𝟎 ×𝟏𝟏𝟐𝟓𝟎=𝟒𝟖𝟕𝟓$ Les profits de Tania seront :   𝟕 𝟑𝟎 ×𝟏𝟏𝟐𝟓𝟎=2625$

Le bouquet de fleurs Un fleuriste compose des bouquets de roses, de marguerites et d’œillets. Le bouquet de base comporte 6 roses, 9 marguerites et 12 œillets. Pour garder l’effet des couleurs et l’agencement, le RAPPORT entre les variétés doit être respecté. Est-il possible qu’un tel bouquet contienne: 8 œillets? Si oui, détermine le nombre de fleurs de chaque variété nécessaires. 6 œillets? Si oui, détermine le nombre de fleurs de chaque variété nécessaires.

Le bouquet de fleurs - réponses Le bouquet de base comporte 6 roses, 9 marguerites et 12 œillets. Le RAPPORT entre les variétés doit être respecté. 8 œillets? Oui car le rapport réduit du bouquet est (il suffit de diviser par 3) 2 : 3 : 4 À partir de ce rapport réduit, on multiplie chaque valeur par 2 et on obtient: 4 roses : 6 marguerites : 8 œillets 6 œillets? Non car pour passer de 4 œillets à 6 œillets, je devrais multiplier par 1,5, ce qui me donnerait: 3 roses : 4,5 marguerites: 6 œillets

Tout en gris Pour obtenir de la peinture grise, un artiste mélange 20 ml de peinture blanche et 16 ml de peinture noire. Pour obtenir exactement la même couleur: Quelle quantité de peinture blanche doit-il ajouter à 4 ml de peinture noire? Quelle quantité de peinture noire doit-il ajouter à 48 ml de peinture blanche? Posons la proportion 20 16 = 4 nous aurons 16×□=20×4. La valeur manquante est 5 ml. Posons la proportion 20 16 = 48 nous aurons 20×□=16×48. La valeur manquante est 38,4 ml.

Raisonnement Proportionnel NOTES DE COURS POUR T’AIDER… Raisonnement Proportionnel Résoudre une situation proportionnelle

Le facteur de changement Identifier le facteur pour passer d’une donnée à l’autre dans une même grandeur. Appliquer le même facteur aux données correspondantes dans l’autre grandeur Temps (jour) Coût ($) 5 12,60 7,5 18,90 30,24 22 Dans un premier temps, se servir du passage de 5 à 7,5 pour trouver le facteur multiplicatif qui est de 1,5. Ensuite, faire constater aux élèves que le facteur multiplicatif entre 12,60 et 18,90 est aussi le même. Facteur multiplicatif entre 30,92 et 18,90 est de 1,6. Alors, nous aurons pour le temps 7,5 fois 1,6 = 12 Facteur multiplicatif entre 22 et 5 est de 4,4. Alors, nous aurons pour le coût 12,60 fois 4,4 = 55,44.

Le facteur de changement Temps (jour) Coût ($) 5 12,60 7,5 18,90 7,5  1,6 = 12 30,24 22 12,60  4,4 = 55,44 4,4 4,4 1,6 1,6

Le coefficient de proportionnalité Trouver le facteur multiplicatif qui permet de passer d’une grandeur à l’autre. Temps (heure) Quantité (litre) 3 72 5 120 8 336 432 Le facteur multiplicatif qui unit 3 et 72 est 24. On peut vérifier que 5  24 = 120. Trouvons les autres valeurs de cette tableau des valeurs. 8  24 = 192 336  24 =14 432  24 = 18

Le coefficient de proportionnalité 24 Temps (heure) Quantité (litre) 3 72 5 120 8 8  24 = 192 336  24 =14 336 432  24 = 18 432  24

Le retour à l’unité Distance (km) Réclamation ($) 1 150 73,50 225 Trouver la valeur pour une unité dans une grandeur. Utiliser la valeur associée dans l’autre grandeur comme facteur de conversion Distance (km) Réclamation ($) 1 150 73,50 225 122,50 156,80 Trouvons la réclamation pour 1 km : 73,50  150=0,49$/km Ainsi, nous pouvons trouver les autres informations demandées: 225  0,49 =110,25$ Verbalisation: si nous connaissons le prix d’un kilomètre, 0,49$, le prix pour 225 km sera 225 fois 0,49$ 122,50  0,49 = 250 156,80  0,49 = 320

Le retour à l’unité Distance (km) Réclamation ($) 1 0,49 150 73,50 225 225  0,49 =110,25$ 122,50  0,49 = 250 122,50 156,80  0,49 = 320 156,80 150 150

Le procédé additif Nombre de marches Hauteur (m) 10 3 20 6 50 27 72 Trouver une somme de valeurs dans une grandeur qui permet d’obtenir un résultat.. Faire la même somme des éléments correspondants dans l’autre grandeur Nombre de marches Hauteur (m) 10 3 20 6 50 27 72 Trouvons la manière d’obtenir 50: (10 +20 +20) alors les valeurs associées pour l’autre grandeur, soit la hauteur, est (3 +6 +6 = 15) Pour obtenir une hauteur de 27, il suffit de combiner une hauteur de 15 + 6 + 6= 27. Alors, le nombre de marches sera 50+ 20+20=90. Pour obtenir une hauteur de 72, il suffit de prendre 27+27+6+6+6=72. Pour l’autre grandeur nous aurons 90 + 90 + 20 +20 +20 = 240.

Le procédé additif Nombre de marches Hauteur (m) 10 3 20 6 50 (20+20+10) 6+6+3= 15 50+ 20+ 20 = 90 27 (15 + 6 + 6) 90+ 90 +20+20 +20 = 240 72 (27+27+6+6+6)