Poisson 3D pour les nano-dispositifs en graphène BERRADA Salim 03/05/2012 Réunion de groupe

Plan: Introduction Objectif Besoin Calcul de charge et du courant Profil de Potentiel Résultats préliminaires Travail en cours et perspectives 03/05/2012 Réunion de groupe

Pourquoi Le Poisson 3D (1) Le graphène est un semi-metal possédant des propriéts très intéressantes: Masse effective nulle Transport balistique Mobilité record 200000 cm²/V.s Mais absence de Gap…!! 03/05/2012 Réunion de groupe

Pourquoi Le Poisson 3D (2) Nanoruban… Nanomesh… 03/05/2012 Réunion de groupe

Pourquoi Le Poisson 3D (3) GNR et les GNM: localisation de charges à cause du confinement et de la présence d’inhomogénéités: Il nous faut donc résoudre poisson en prenant en compte cette variation bidimensionnelle de la charge: Poisson 3D! 03/05/2012 Réunion de groupe

Dispositifs infinis dans la direction (OY)

Objectif Caractéristiques I-V des transistors a canal en graphène infini dans la direction Oy en présence d’inhomogénéités dans cette direction Pour rappel: Nécessité du connaître le profil de potentiel auto-cohérent 03/05/2012 Réunion de groupe

Besoins On a donc besoin de résoudre de manière auto-cohérente l’équation de Poisson sur ce dispositif: Une Partie calcul de charge, T(E) et J. Calcul du potentiel pour une géométrie de dispositif donnée, un point de polarisation donné, et un profil de charge donné. Coupler les deux pour obtenir le potentiel auto-cohérent. 03/05/2012 Réunion de groupe

Calcul de charge et du courant (1) Le plan de graphène ≡ infinité de rubans élémentaires (RE) identiques couplés, chacun étant indexé par un indice m. Chaque RE d’indice m est décomposé en plusieurs cellules élémentaires d’indice n. L’Hamiltonien total du système s’écrit: 03/05/2012 Réunion de groupe

Calcul de charge et du courant (2) L’Hamiltonien est une sommation infinie de grandeurs couplés! Découplage de l’Hamiltonien: Transformée de fourrier des opérateurs de création et annihilation: Grâce à l’invariance par translation, on s’affranchit de la dépendance en m! 03/05/2012 Réunion de groupe

Calcul de charge et du courant (3) Remarques: Chaque atome de carbone i est représenté par une ligne et une colonne à l’intérieur de l’Hamiltonien Hn de la couche n. Inhomogénéité de période W dans la direction Y est prise en compte dans ce modèle en considérant un RE de largeur W. Nanomesh: l’inhomogénéité est traduite par l’absence d’atomes i sur certaines couches n. Ceci est pris en compte dans le modèle en faisant: 03/05/2012 Réunion de groupe

Calcul de charge et du courant (4) En pratique, si on appelle D = 𝑊 2𝜋 la densité d’états dans l’espace réciproque, les sommations sur les Ky sont transformées en intégrales de la façon suivante: Les densités des porteurs sont alors données par: N.B: En terme de temps de calcul, pour obtenir un profil de charge, tout se passe comme si on devait obtenir la densité de charge de n= 𝝅 Δ𝜽 GNR possédant chacun Nl couches de 2*M dimères tous différents (à cause du terme en Ky) et les sommer. 03/05/2012 Réunion de groupe

Profil de Potentiel (1) On doit résoudre l’équation de poisson: Discrétisation différences finies en utilisant l’équation de Gauss pour chaque site: Représentation numérique de l’équation de Poisson: M.U=Q 03/05/2012 Réunion de groupe

Profil de Potentiel (2) Nous rappelons la géométrie des dispositifs que l’on veut simuler: Si le dispositif ne présente pas d’inhomogénéité dans la direction OY, on peut supposer les grandeurs physiques invariantes sur cette direction, i.e, M=2, ρ(x,y) = ρ(x), U(x,y) = U(x) et résoudre poisson uniquement dans un plan (xoz). Sinon, il est faut de considérer autant de dimères que nécessair pour reproduire la périodicité, mailler le dispositifs en plusieurs couches dans l’axe Oz et mailler chaque couche en plusieurs sites sur lesquels ont calculera la charge et le potentiel. 03/05/2012 Réunion de groupe

Profil de Potentiel (3) Néamoins, La représentation numérique de l’équation de Poisson à la même forme dans les deux cas, c’est ce qu’il à l’intérieur des matrices qui change: 03/05/2012 Réunion de groupe

Profil de Potentiel (4) Poisson 2D Poisson 3D Uit Et Qit : vecteurs de dimension Nl Mit : de dimension (Nl , Nl). Partie du Laplacien mettant en jeu les sites de la même ligne. Mi,i±1: de dimension (Nl , Nl) , couplage des sites de la ligne i avec les site des lignes i±1 C.L: Dirichlet sur les sites en contact avec la grille et Neuman ailleurs. informations contenues dans les Mi et Mi,i±1. Uit Et Qit : vecteurs de dimension 2.M.Nl Mit : De dimension (2.M.Nl, 2.M.Nl). Partie du Laplacien mettant en jeu les sites de la même couche. Mi,i±1 : de dimension (2.M.Nl, 2.M.Nl). couplage des sites de la couche i avec les site des couches i±1 C.L: Dirichlet à la grille, Neuman à X=0 et X= LT, Z=- Tbox et la partie de Z=- Ttox qui n’est pas en contact avec la grille, et périodiques en Y=0 et Y=W. 03/05/2012 Réunion de groupe

Profil de Potentiel (5) Il existe un schéma récursif qui permet de se ramener à ce qui passe uniquement là où se trouve le graphène: Testé et validé pour le cas 2D. Ce schéma est comme une boîte noire qui prend arguments les (Mi,Mi,i±1,Qi). Peut s’appliquer au cas 3D à conditions que les matrices Mi et Mi,i±1 soient bien définies et les unités correctes et homogènes. 03/05/2012 Réunion de groupe

Calcul auto-cohérent Green-Poisson: méthode Newton-Raphson (1) But: Trouver le potentiel auto-cohérent solution de: F=M.U-Q Etape préliminaire: Il est précédé du schéma récursif pour se ramener au plan ou la ligne contenant les charges Test: dispositif à l’équilibre des densité de charges obéissant à la statistiques de Boltzmann: 03/05/2012 Réunion de groupe

Calcul auto-cohérent Green-Poisson: méthode Newton-Raphson (2) 03/05/2012 Réunion de groupe

Calcul auto-cohérent Green-Poisson: méthode Newton-Raphson (3) Couplage ensuite avec Green pour le calcul de charge Jacobien approximé: n’est pas la meilleure correction à apporter au potentiel. dU’ = α.dU (0< α <1) est meilleure mais ne permet d’atteindre un courant auto-cohérent pour Vg<-0,6V et Vg>0,5V Nécessité d’un algorithme plus élaboré 03/05/2012 Réunion de groupe

Caractéristique Id(Vgs) 03/05/2012 Réunion de groupe

Deuxième Partie 03/05/2012 Réunion de groupe

Quelques ordres de grandeurs Le nombre d’inversions pour se ramener à la couche de graphène dépend de (Ttox+ Tbox)/az La rapidité de cet algorithme est directement lié à la taille des matrices M. quelques ordre de grandeur: 10 nm de longueur de graphène: 24 GNU 5 nm de largeur de dispositif: 24 dimères, i.e. 48 site par GNU Dispositif (LD =LS=20nm et LG=50) en PG sans inhomogénéité-> Poisson 2D: dim(Mt,bi)= 9*24=216 / Nombre de pas de Green pour un seul profil de charge: Nθ* ( 216 inversions de matrices (4,4) ) Même dispositif avec inhomogénéité de 5 nm de large: Poisson 3D: dim(Mt,bi): 9*24*48=10368 / Nombre de pas de Green: Nθ* ( 216 inversions de matrices (48,48) ) L’effet du substrat est indépendant de la tension de grille, c’est important pour les simulation I-V dans Poisson 3D La forme des matrices ne dépendent pas de nanostructuration du graphène, elle dépendent que des épaisseurs d’oxyde, W et LT => possibilité de ‘templates’ de Poisson 3D pour le premier run. 03/05/2012 Réunion de groupe

F’-F < 0 Calcul de Q(U), F=MU-Q et dU Effet de la grille et potentiel d’essai U0(Vg) Calcul de Q(U), F=MU-Q et dU Effet du substrat U=U+α.dU α=1 Vg=Vg+dV Calcul de F’=M(U+ α .dU)-Q U0 = Uf |dU|3=0 Enregistrer If(Vg) Green: Q(U+ α.dU) ||F||3=0 F’-F < 0 grad(F)=0 α<αmin Arrêt!! α= αopt 03/05/2012 Réunion de groupe

Comparaison avec les résultats de Hung-Alfonso (2D) Comparaison avec les résultats de Hung-Alfonso (2D). Dispositif: LS=20nm, LD=20nm et LG=10nm, Gox=2nm et Sox=100nm, Nd =1017 m-2 Vds =0,1V 03/05/2012 Réunion de groupe

Vg=-0,6 et α variable 03/05/2012 Réunion de groupe

Caractéristique Id(Vgs) 03/05/2012 Réunion de groupe

Vg=-0,6 et α=1 03/05/2012 Réunion de groupe

Vg=-0,6 et α=0,5 03/05/2012 Réunion de groupe

Vg=-0,6 et α=0,3 03/05/2012 Réunion de groupe

Remarques importantes Vg< -1V: problèmes de convergence: impossibilité de réduire F et gradient non nul… Simulation de Vg =-1,6V avec α constant à partir du potentiel final: accord avec le courant obtenu par Alfonso. suppression de la condition sur le gradient: aux forts Vg, la direction de newton n’est pas forcément la meilleure à cause de l’approximation sur le Jacobien =>remplacement par la condition de l’auto-cohérence du courant sur un nombre donné d’itérations 03/05/2012 Réunion de groupe

Travail en cours et perspectives Poisson 3D en phase de test et validation du graphène 2D homogène. Simulation en présence d’inhomogénéités: Nanomeshs. Extension aux cas des nanorubans 03/05/2012 Réunion de groupe

Merci de votre attention BERRADA Salim 03/05/2012 Réunion de groupe