L’opération de multiplication Maîtriser la multiplication, ce n’est pas seulement connaître les tables de multiplication, c’est aussi différencier ce qui relève du multiplicateur et ce qui relève du multiplicande…

L’opération de multiplication L’acte de multiplier peut être introduit dans un premier temps comme une addition réitérée d’une même quantité de type a + a + … + a de b termes égaux à a. Le produit a x b en est sa contraction.

L’opération de multiplication Le produit est un nombre, et non une écriture. Il peut donc s’écrire de diverses manières. exemple : 6 x 4 = 24 où le nombre 24 est le produit de 6 par 4. Mais d’autres écritures restent possibles: 24 = 6 x 4 = 4 x 6 = 6 + 6 + 6 + 6 = 4 + 4 +4 + 4 + 4 + 4

L’opération de multiplication Plusieurs stratégies peuvent être décrites pour résoudre des multiplications à un chiffre: Une procédure pas à pas lorsqu’une succession d’additions remplace la multiplication (faire 4 + 4 + 4 pour 4 x 3). Une procédure additive par blocs quand le sujet passe par un résultat connu puis l’additionne plusieurs fois : pour 6 x 6, l’enfant résout 6 x 2 = 12, puis effectue 12 + 12 + 12 pour arriver à 36.

L’opération de multiplication La procédure par calculs multiples avec l’ajustement additif dans l’utilisation d’un item connu, suivi d’une addition afin de parvenir au résultat : pour 3 x 4, l’enfant fait 3 x 3 = 9, puis ajoute 3 à 9 pour obtenir 12. La procédure par addition de multiples du diviseur lorsqu’un enfant utilise la connaissance de deux résultats de la table dont la somme est l’item cible: 8 x 6 est résolu par décomposition de (5 x 6) + (3 x 6) = 30 + 18 = 48. La récupération en mémoire de faits arithmétiques connus (connaissance du produit des deux termes)

Question de vocabulaire « fois » ou « multiplié »? Dire « 15 multiplié par 3 », c’est indiquer à l’enfant la nature de l’opération arithmétique à effectuer. Dire « 3 fois 15 » (plutôt que « 15 fois 3 »), c’est annoncer la procédure de calcul : l’enfant utilise la propriété de commutativité de la multiplication pour faciliter son calcul. 15 x 3

L’opération de multiplication Comprendre le sens de la multiplication correspond très souvent à une rupture épistémologique pour l’enfant, car l’unité dans la multiplication ne fait plus référence à un objet discret, mais peut être la mesure d’un ensemble, comme par exemple dans l’expression 5 fois 7 résumant la représentation de 5 unités de 7 éléments.

L’opération de multiplication Dans un problème additif, les données numériques reposent presque exclusivement sur la notion d’extension, puisque les quantités sont en principe dénombrables. Mais les problèmes multiplicatifs nécessitent la compréhension de quantités « intensives », comme relation entre quantités (12 biscuits par paquet, 18 melons par cageot, ou encore 90 km par heure).

L’opération de multiplication La préposition par renvoie ainsi à une compréhension d’une invariance qualitative plutôt que quantitative. Schwartz (1976, 1988) décrit 3 catégories de quantités intensives: quantité discrète / quantité discrète : biscuit par paquet ou melons par cageot. quantité discrète / quantité continue (ou inverse): personnes par taille ou centilitres par bouteille. quantité continue / quantité continue : kilomètres par heure (vitesse) ou m3 par seconde (débit d’un fleuve).

L’opération de multiplication Cette rupture de sens est primordiale pour aborder le concept de multiplication : si la multiplication peut s’introduire comme la simple addition réitérée d’une même quantité, elle ne pourra être comprise par l’enfant de cours élémentaire que dans la distinction entre multiplicande qui renvoie à une mesure d’objets discrets et multiplicateur qui apparaît comme un simple opérateur sans dimension physique.

L’opération de multiplication L’enfant de cours élémentaire applique assez vite le principe de distinction entre multiplicande et multiplicateur : s’il peut employer des données numériques complexes au multiplicande (nombres à plusieurs chiffres par exemple), il ne peut opérer qu’avec des multiplicateurs renvoyant à des nombres à un seul chiffre!

L’opération de multiplication Ainsi, malgré la commutativité de la multiplication, le multiplicateur ne joue pas le même rôle que le multiplicande. Brissiaud et al. (1992) proposent d’ailleurs de donner aux élèves, dès le CE 1, des problèmes du type: « combien y a-t-il de timbres dans 125 sachets de 3 timbres? » plutôt que du type : « combien de timbres y a-t-il dans 3 sachets de 125 timbres? ». La compréhension du premier problème passe nécessairement par la fonction 125 fois 3, même si le calcul multiplicatif s’effectuera sous la forme 3 fois 125.

L’opération de multiplication La maîtrise du concept de multiplication demandera à l’enfant de longues années d’apprentissage, car connaître « ses tables de multiplication » ne veut pas dire pour autant que les difficultés conceptuelles sont effacées… Ainsi, l’enfant élabore spontanément une conception assez primitive de cette opération : la multiplication fait plus grand (comme la division fait plus petit)! Mais il ne sait pas encore que multiplier par un nombre plus petit que 1 aboutit à un résultat plus petit que le nombre de départ. Une nouvelle rupture lui sera alors nécessaire pour franchir cet obstacle car sa compétence multiplicative ne sera opératoire que s’il en contrôle lui-même les conditions de mise en œuvre…