Thème 2 : Lois et modèles

LM 9 lois de Newton. Mouvements dans un champ.

ΣFext=0 I) Première loi de Newton (voir LM 8) Si un objet est au repos ou que son mouvement est rectiligne uniforme, alors la somme des forces extérieures qui s'exercent sur lui est nulle, et réciproquement: ΣFext=0

ext II) Deuxième loi de Newton Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces qui s'exercent sur un point matériel est égale à la dérivée, par rapport au temps, du vecteur quantité de mouvement du point matériel. ext

𝑑 𝑝/𝑑𝑡=𝑑(𝑚𝑉)/𝑑𝑡 𝑑𝑝/𝑑𝑡=𝑚 𝑎. 1. Cas d'un point matériel de masse constante Soit un point matériel de masse m. Soit 𝑉 son vecteur vitesse. La dérivée de sa quantité de mouvement s’écrit 𝑑 𝑝/𝑑𝑡=𝑑(𝑚𝑉)/𝑑𝑡 soit 𝑑 𝑝/𝑑𝑡=𝑚𝑑𝑉/𝑑𝑡. Or 𝑎=𝑑𝑉/𝑑𝑡 et la dérivée de la quantité de mouvement s’écrit 𝑑𝑝/𝑑𝑡=𝑚 𝑎.

𝛴𝐹=𝑚 𝑎 2. La deuxième loi de Newton devient : Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces qui s'exercent sur un point matériel de masse constante est égale au produit de sa masse par son vecteur accélération :   𝛴𝐹=𝑚 𝑎   

III. Troisième loi de Newton (ou principe des actions réciproques). Lorsqu'un corps A exerce sur un corps B une force 𝐹𝐴/𝐵, alors le corps B exerce sur le corps A une force 𝐹𝐵/𝐴 telle que: 𝐹𝐵/𝐴=−𝐹𝐴/𝐵 soit 𝐹𝐴/𝐵+𝐹𝐵/𝐴=0

IV. Mouvement d’un projectile dans le champ de pesanteur uniforme. Soit un point matériel A de masse m lancé avec une vitesse initiale 𝑣𝑜 dans le champ de pesanteur 𝑔 supposé localement uniforme. Point A

Système étudié: le point matériel A. Référentiel: terrestre considéré comme galiléen (la durée du mouvement est faible par rapport à la durée d’un jour). Forces extérieures exercées sur le point A: la force de pesanteur (ou poids) 𝑃. Point A

Application de la deuxième loi de Newton : Vecteur accélération:

Conditions initiales: Supposons qu’à l’instant t=0s, le mobile est lancé de l’origine du repère O avec une vitesse initiale 𝑣𝑜 faisant un angle  𝛼 avec l’axe Oy. Equations horaires paramétriques: Le vecteur position initiale s’écrit alors:

Le vecteur vitesse initiale a pour coordonnées : Equations horaires paramétriques: Les coordonnées du vecteur accélération sont:

par intégration, on obtient : Coordonnées du vecteur vitesse : Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse : Equations horaires paramétriques: par intégration, on obtient : Le mouvement est uniforme selon l’axe Oy et uniformément varié selon l’axe Oz.

par intégration, on obtient : Coordonnées du vecteur position : Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position : Equations horaires paramétriques: par intégration, on obtient : Le mouvement s’effectue dans le plan (O,y,z).

Equation de la trajectoire : Equations horaires paramétriques: De On déduit: On en déduit l’équation de la trajectoire du centre d’inertie du mobile : La trajectoire est un arc de parabole.

V. Mouvement dans un champ électrique uniforme. Une particule A de masse m et de charge q pénètre avec une vitesse initiale 𝑣𝑜 dans une région où règne un champ électrique uniforme 𝐸. Point A Trajectoire d’un électron (q<0) à l’intérieur d’un condensateur plan

Système étudié: la particule A. Référentiel: terrestre considéré comme galiléen (la durée du mouvement est faible par rapport à la durée d’un jour). Forces extérieures exercées sur A: la force électrique 𝑓=𝑞×𝐸→ (le poids de la particule est négligeable devant 𝑓 ). Point A

Application de la deuxième loi de Newton : Vecteur accélération:

Conditions initiales: Supposons qu’à l’instant t=0s, le mobile est lancé de l’origine du repère O avec une vitesse initiale 𝑣𝑜 faisant un angle  𝛼 avec l’axe Oy. Equations horaires paramétriques: Le vecteur position initiale s’écrit alors:

Le vecteur vitesse initiale a pour coordonnées : Equations horaires paramétriques: Les coordonnées du vecteur accélération sont:

par intégration, on obtient : Coordonnées du vecteur vitesse : Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse : Equations horaires paramétriques: par intégration, on obtient : Le mouvement est uniforme selon l’axe Oy et uniformément varié selon l’axe Oz.

par intégration, on obtient : Coordonnées du vecteur position : Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position : Equations horaires paramétriques: par intégration, on obtient : Soit Le mouvement s’effectue dans le plan (O,y,z).

Equation de la trajectoire : Equations horaires paramétriques: De On déduit: On en déduit l’équation de la trajectoire du centre d’inertie du mobile : La trajectoire est un arc de parabole.

FIN LM9