François Schwarzentruber ENS Rennes Algorithmes gloutons François Schwarzentruber ENS Rennes

Algorithmes gloutons Arbre couvrant de poids minimal algorithme de Kruskal algorithme de Prim Encodage de Huffman Clauses de Horn Couverture d'ensemble algorithmes exacts algorithmes approximatifs

Arbre couvrant de poids minimal

Circuit électronique 1 3 2 3 1 2 2 1 4

Réseau 1 3 2 3 1 2 2 1 4

Réseau 1 3 2 3 1 2 2 1 4

Réseau 1 3 4 4 5 4 2 4 6

Deux idées Algorithme de Kruskal Algorithme de Prim

Algorithme de Kruskal (1956)

Algorithme de Kruskal

Algorithme de Kruskal

Algorithme de Kruskal

Algorithme de Kruskal

Union-find Créer union-find Find Union

Union-find Créer union-find Find Union

Union-find Créer union-find Find Union

Union-find Créer union-find Find Union

Union-find Créer union-find Find Union

Union-find Créer union-find Find Union

Une partition = une forêt

Une partition = une forêt

Find(x) x

Union(x, y) r' r y x

Union(x, y) r' r x y

Union(x, y) r r y x

Union(x, y) r+1 r x y

Amélioration de l'implémentation : compression de chemin

Find(x) avant b a x

Find(x) avec compression de chemin b a x

Find(x) avec compression de chemin b

Lors d'une union(x, y)... r' r x y

le rang de ne changera plus. x y

L'intervalle des rangs possibles découpé en sous-intervalles 2 2 2 2 2

le rang de ne changera plus. x y

Distribution d'argent r' € r x y

Find... combien d'opérations ? x

Entre deux nœuds dans le même intervalle, on ne comptabilise pas l'opération. Non comptabilisée, il paie a 1€ x Comptabilisée

Aucun nœud n'est à découvert paiera peut-être encore x a b

Aucun nœud n'est à découvert ne paiera plus jamais x a b

Algorithme de Prim

Encodage de Huffman

Savez-vous combien de temps dure le « chant de la Terre » de Mahler ?

Compression MP3 chant de la Terre échantillonnage numérisation encodage

Compression Compression Données Données compressées

Encodage naïf ABADACACAADAADACAAAD 0001001100100010000011000011001000000011

Compression... problème : ambiguïté ABADACACAADAADACAAAD 0001011001001001100110100001

Compression... sans ambiguïté ABADACACAADAADACAAAD 0101011010101010011001101010001

Arbre préfixe 1 100 A

Au début A B C D E

Calcul

Horn-SAT Alfred Horn (1918-2001) conclusion = (au plus) une seule proposition atomique prémisse = conjonction de propositions atomiques Pas de prémisse un fait contradiction

Un fait divers

Couverture d'ensemble

Motivation : l'éducation

Motivation : l'éducation école

Motivation : l'éducation ! école école école école école