Thème 2 : Lois et modèles

LM 10 Mouvement des satellites et des planètes.

r I) La loi universelle de la gravitation Deux corps A et B, de masses respectives mA et mB, dont les centres d'inertie respectifs GA et GB sont séparés d'une distance r, exercent l'un sur l'autre une action mécanique attractive modélisée par une force appelée force d'attraction gravitationnelle proportionnelle aux masses  mA et mB  et inversement proportionnelle au carré de la distance r les séparant. r

r Force gravitationnelle G la constante universelle de gravitation :G=6,67.10−11 m3.kg−1.s−2 mA la masse du corps A (en kg) mB la masse du corps B (en kg) r la distance entre les deux corps (en m) eAB  le vecteur unitaire orienté de A vers B r

II) Mouvement circulaire uniforme On dit qu’un solide a un mouvement circulaire uniforme, dans un référentiel donné, si sa trajectoire est un cercle et si la valeur de sa vitesse est constante. Pour simplifier l’étude d’un tel mouvement et en déduire les caractéristiques, il faut utiliser le repère de Frenet :           -    T        Désigne un vecteur unitaire tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement. -    N        Désigne un vecteur unitaire perpendiculaire à  et orienté vers  le centre O du cercle.

Coordonnées du vecteur accélération:   Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire au point considéré . Le vecteur vitesse change de direction à chaque instant.   Pour obtenir les coordonnées du vecteur accélération, il faut dériver cette expression par rapport au temps.

Le vecteur accélération peut se décomposer de la façon suivante : R est le rayon de la trajectoire circulaire.     En conséquence, le vecteur accélération peut être décomposé en une : -          Accélération tangentielle qui dépend de la variation de la valeur de la vitesse. -          Accélération normale qui est liée à la variation de la direction du vecteur vitesse. -          Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme :   L’accélération est radiale et centripète. Elle est dirigée vers le centre de la trajectoire.

III. Satellite en orbite circulaire. On étudie le mouvement d’un satellite de la Terre dans le référentiel géocentrique.           Ce satellite a une masse m et son centre d’inertie est situé à la distance R du centre de la terre. La masse de la Terre est notée : M T. Force gravitationnelle

Dans le référentiel géocentrique, on applique la deuxième loi de Newton : Pour simplifier l’étude, on travaille dans le repère de Frenet :            On remarque que  .

L’expression de l’accélération dans ce repère :           Dans le référentiel géocentrique, l’accélération du centre d’inertie du satellite est indépendante de sa masse. Le vecteur accélération est centripète. Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme :

En identifiant :  Dans le référentiel géocentrique, le mouvement d’un satellite en orbite circulaire est uniforme.         Sa vitesse dépend de l’altitude mais est indépendante de sa masse m.

Lorsque le satellite est à une altitude h, alors la vitesse s’exprime par:  La vitesse diminue lorsque l’altitude augmente.

Expression de la période : durée nécessaire pour effectuer un tour : Rappel de toutes ces formules en vidéo… Clic ici

Cas du satellite géostationnaire.  Un Satellite Géostationnaire est un Satellite qui reste toujours à la verticale d’un même point P de la Terre.       Le plan de l’orbite dans le référentiel géocentrique est le plan équatorial.  Période de révolution d’un Satellite Géostationnaire :      C’est la durée pour effectuer un tour dans le référentiel géocentrique : (un jour sidéral) 1 j = 86164 s = 23 h 56 min 4 s

Altitude de révolution d’un Satellite Géostationnaire: On obtient :

IV Lois de Kepler. 1)- Historique. -          Pour Ptolémée (II e siècle), la Terre autour de laquelle tourne le Soleil est le centre du Monde. -          Copernic est  à l’origine du système héliocentrique(1543).  -          Dans ce référentiel, les neuf planètes du système solaire ont des trajectoires quasi circulaires dont le centre est le Soleil. -          Kepler (1571 – 1630) utilisant les travaux de son maître Tycho Brahé (1546 – 1601) formule les trois lois qui décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil. Kepler

a) Première loi : la loi des trajectoires -          Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d’une planète est une ellipse dont le Soleil est l’un des foyers. -          Remarque : le cercle est une ellipse dont les deux foyers sont confondus avec le centre. -          Définition d’une ellipse : une ellipse est l’ensemble des points dont la somme des distances à deux points fixes F et F’ (les foyers) est une constante :  -          r 1 + r 2 = 2 a.  -          Le grand axe de l’ellipse est égal à 2 a.

b) Deuxième loi : Loi des aires.           Le segment de droite qui relie le centre du Soleil au centre de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales. -          Il résulte de ceci que la planète se déplace plus vite lorsqu’elle se rapproche du Soleil.  -          En toute rigueur, le mouvement d’une planète n’est pas uniforme.

c) Troisième loi : Loi des périodes.          Pour toutes les planètes, le rapport entre le cube du demi-grand axe a de la trajectoire et le carré de la période T de révolution est la même : Cette constante ne dépend pas de la masse de la planète. Si  la trajectoire est circulaire, on peut écrire que :

Rappel de toutes ces lois en vidéo… Clic ici

FIN LM10