Dongzhe LI M2 Nanosciences Encadrant : Jérôme SAINT-MARTIN Nanothermique des nanofils de silicium par simulation particulaire Monte Carlo Bonjour à tous, aujourd’hui je vais vous parler mon travail de stage sur <Nanothermique des nanofils de silicium par simulation particulaire Monte Carlo>. Dongzhe LI M2 Nanosciences Encadrant : Jérôme SAINT-MARTIN

Réunion d’équipe COMICS Plan Contexte Problème auto-échauffement Thermoélectricité et nanofil Modèle MONTE CARLO Principe algorithme Monte Carlo Relations de dispersion Fréquence d’interaction Initialisation des phonons Injection aux bords Transport Monte Carlo Conclusion Dans un premier temps je vous parlerai le contexte de travail: problème auto-échauffement pour les nanodispositifs, thermoélectricité et nanofil. Nous verrons ensuite le modèle Monte Carlo: je vous decrirai le principe algorithme Monte Carlo, relation de dispersion, fréquence d’interaction, initialisation des phonons, injection, transport Monte Carlo etc. Je terminerais ma présentation par une conclusionn. 04/07/2012 Réunion d’équipe COMICS

Contexte : Auto-échauffement Miniaturisation des transistors => CMOS ultimes : les nanofils Chaleur dissipée ↑ L’échauffement limite les performances des composants électroniques Défaillances d’origine thermique (durée de vie des composants) Le développement des nanotechnologies a conduit à une réduction de la taille sans précédent pour les dispositifs électroniques et mécaniques. La chaleur qui sera dissipée par effet Joule dans ces jonctions semi-conducteurs atteindra bientôt les niveaux de la chaleur dissipée dans une ampoule. Cette dissipation de chaleur volumétrique élevée dans les dispositifs électroniques devra être évacuée de manière très efficace afin d'éviter les défaillances possibles dans les systèmes. Ce travail ne sera pas réalisable sans une connaissance fondamentale pour ces phénomènes qui régissent le transfert de chaleur à l'échelle nanométrique. 04/07/2012 Réunion d’équipe COMICS

Contexte : Thermoélectricité et nanofil Conversion énergie : thermique => électrique Rendement lié à [A. D. McConnell et al, Auual Review of Heat Transfer, 2005] Conductivité thermique (W/m.K) Conductivité thermique du nanofil 2 ordres de grandeur plus faibles que le Si massif SiNW est un candidat pour la thermoélectricité. Les modules thermoélectricité peuvent effectivement convertir de la chaleur en énergie électrique par l’effet Seeback. L’intérêt principal des nanofils de Si réside dans leur faible propension à transporter la chaleur, c’est-à-dire la conductivité thermique des nanofils est beaucoup plus faible par rapport le matériau massif. Ensuite, théoriquement, pour calculer la conductivité thermique de silicium, on nécessite un modèle qui saisit les comportements des phonons. Mais, le théorie classique <loi de fourier> est invalide à l’échelle nanométrique, dans ce contexte, une formulation adaptée et la plus utilisée est l'équation de transport de Boltzmann (BTE). Mon travail de stage est consacré de résoudre la BTE par méthode Monte Carlo. Théoriquement Température (K) Théoriques classiques Invalides à l’échelle nanométrique (ex: loi de Fourier) => Equation de Boltzmann résolue par méthode Monte Carlo (ou directe Trang) 04/07/2012 Réunion d’équipe COMICS

Eq. Boltzmann pour les phonons Fonction de distribution des particules : f = f (r, k, t) -- probabilité d'occupation des particules à l’état k au point r à l’instant t Le changement de la fonction de distribution. la diffusion dans l'espace géométrique due à la vitesse du groupe (vg) des phonons. Le terme de diffusion. Cependant, la fonction de distribution est, en général, une fonction de sept variables indépendantes (le temps, trois variables d'espace, trois variables de vecteur d'onde). Φ (k, k’) représente le taux de transition de k’ à k qui est toujours une fonction non-linéaire en fonction de k. Donc, c’est très difficile de résoudre la BTE par la méthode déterministe. Par contre, pour la méthode Monte Carlo, la fonction de distribution est remplacée par un ensemble de particules individuelles dont les trajectoires sont calculées séparément suivant un processus de tirages au sort basé sur des lois de probabilité. Résolution directe => Trang Résolution statistique (Monte Carlo) => Moi Avantages : traitement transitoire simple, moins d’approximation Inconvénient : coûteux en temps de calcul 04/07/2012 Réunion d’équipe COMICS

Principe algorithme Monte Carlo 1 particule (phonon) est caractérisée à l'instant t par Problème : déterminer et sous les interactions le calcul de : nécessite la connaissance de : structure de bande fréquences d'interaction interactions Pour résoudre la BTE, la méthode Monte Carlo décompose la trajectroire d’une particule en un grand nombre de séquences, chaque séquence début par un vol libre qui est suivi d’une collision, ou interaction. Pour générer de telles séquences aléatoires, il faut tirer au sort : 1) la durée du vol libre 2) le type d’interaction subie en fin de vol libre 3) l’effet de l’interaction. Par tirage au sort Les choix : - du temps de vol - de l'interaction subie - de l'effet de l'interaction => Necessite de savoir la relation de dispersion et la fréquence d’interaction 04/07/2012 Réunion d’équipe COMICS

Relation de dispersion (isotrope) Silicium La courbe symbolique représente la relation de dispersion reelle du Si massif, la courbe normale représente l’approximation quadratique. En raison de la symétrie cristalline dans cette direction, les modes transversaux sont dégénérés; On ne voit que 4 branches: longitudinale optique (LO), transverse optique (TO), longitudinale acoustique (LA) et transverse acoustique (TA). Allure des courbes de dispersion dans un cristal Si pour des vibrations se propageant dans la direction [100] [Eric Pop et al, Journal of Applied Physics, 2001] 04/07/2012 Réunion d’équipe COMICS

Réunion d’équipe COMICS Densité de phonons Densité volumique du phonon 1) k norme : 2) v norme : La vitesse de groupe est définie comme la pente d’une branche de la courbe de dispersion. 04/07/2012 Réunion d’équipe COMICS

Fréquences d’intéractions Fréquence d’interaction avec impureté : => changement de la direction de propagation Fréquence d’interaction 3 phonons : Fréquence d’interaction totale (isotrope): Interaction Umklapp: changement de la direction de propagation, les phonons après interaction sont choisit aléatoirement selon la fonction de distribution quasi-équilibre… Interaction Normale: Les 3 phonons sont colinéaire…. Interaction Normale (K1 + K2 = K3) Interaction Umklapp (K1 + K2 = K3 + G) = CSTE… (règle de Matthiessen) 04/07/2012 Réunion d’équipe COMICS

Initialisation (Système à l’équilibre thermodynamique) (Tirages au sort des variables caractéristiques de chaque phonon) Mode ( LA, TA, LO, TO ) La norme du vecteur d’onde k et de la vitesse v  Energie de chaque phonon Ec Les angles θ et φ  La direction du vecteur d’onde k et de la vitesse v (la même direction, car isotrope) 04/07/2012 Réunion d’équipe COMICS

Réunion d’équipe COMICS Tirage au sort du Mode Statistique de Bose-Einstein : Densité d’état volumique de Phonon : Probabilité d’avoir le mode ג : Cette figure montre la probabilité d’occupation en fonction de la température. On constate que la probabilité d’occupation pour le mode acoustique est plus grande que le mode optique, parce que le mode acoustique a plus base énergie par rapport au mode optique (cf. relation de dispersion). En comparant les modes LA et TA, le mode TA a une probabilité plus grande car la densité d’état volumique de phonon pour le mode TA est plus grande que le mode LA. 04/07/2012 Réunion d’équipe COMICS

Initialisation (1) : Mode Nb des phonons : 100.000, Température : 300 K Random [0..1] La figure gauche représente la fonction de répartition pour la probabilité d’occupation pour le mode dans la température 300 K. La figure droite montre la distribution pour chaque mode. On constate le mode TA est le plus nombreux par rapport aux les autres modes. Mode TA Mode 1: LA Mode 2: TA (plus nombreux) Mode 3: TO Mode 4: LO Fonction de répartition pour le mode 04/07/2012 Réunion d’équipe COMICS

Réunion d’équipe COMICS Tirage au sort : k norme Densité volumique du phonon Mode : TA Nombre tirage au sort : 10, 000 Température : 300 K Cette figure représente le nombre des phonons en fonction de la vecteur d’onde norme pour le mode TA, on constate que le calcul analytique et le Monte Carlo donne quasiment le même résultat (nombre tirage au sort = 10000). 04/07/2012 Réunion d’équipe COMICS

Tirage au sort des angles φ : équiprobable entre 0 et 2π θ : équiprobable entre 0 et 1 z kz k θ ky kx y φ x 04/07/2012 Réunion d’équipe COMICS

Réunion d’équipe COMICS Injection aux bords z S v vx x y Vx*dt Distance maximum pour qu’un phonon ayant une vitesse vx puisse traverser la paroie 04/07/2012 Réunion d’équipe COMICS

Fonction de répartition surface = 1 nm * 1 nm, dt = 1e-10 s => LA = 1237, TA = 1130, LO = 241, TO = 47 04/07/2012 Réunion d’équipe COMICS

Injection : Spectre en énergie nb itération = 30, surface = 1 nm * 1 nm, dt = 1e-10 s courbe bleu : simulation courbe verte : théorie 04/07/2012 Réunion d’équipe COMICS

Réunion d’équipe COMICS Modèle étudié Transport des phonons dans un barreau adiabatique 1nm * 100nm * 1nm x y z 1 2 3 4 5 6 z 5 1 2 3 y 0: surface passable 1: surface réflection spéculaire 2: surface réflexion diffusive 4 x Injection aux bords Réflexion spéculaire Changement de numéro maille Interaction isotrope (cte) Ex : Maille 1, 1 1 2 0 1 1 04/07/2012 Réunion d’équipe COMICS

Algorithme Monte Carlo dt : le pas de temps ts : temps de sortie maille tv : temps de vol libre tr : temps restant tm : temps de mouvement permis Dans cette algorithme, il y a 3 boucles : boucle sur le nombre d’itération, boucle sur le nombre de phonons et une boucle pour calculer le temps de mouvement permis. 04/07/2012 Réunion d’équipe COMICS

Mouvement des particules 11/04/2012 Séminaire Doctorants IEF

Après Mouvement : Spectre en énergie nb itération = 30, surface = 1 nm * 1 nm, dt = 1e-10 s courbe bleu : simulation courbe verte : théorie 04/07/2012 Réunion d’équipe COMICS

Réunion d’équipe COMICS Conclusion Réalisation en Fortran 95 d’un simulateur qui décrit le transport des phonons Initialisation des phonons Mouvement avec l’algorithme Monte Carlo Injection des phonons (l’ordre grandeur est différent entre la simulation et la théorie) Travaux suivants Vérifications (spectres en énergie…) Calcul des conductivités thermiques Calcul des capacités thermiques (transitoires) 04/07/2012 Réunion d’équipe COMICS