IV – Réflexions et Transmissions aux interfaces Université d’Angers DEUG STU2 1/21 P1 – Réflexions & transmissions aux interfaces IV – Réflexions et Transmissions aux interfaces Il est ici question du comportement d’une onde à l’interface de deux milieux de propagation différents. 1 – Interface fluide-fluide Considérons l’interface entre deux fluides (1) et (2), de masses volumiques 1 et 2 , et de compressibilités 1 et 2 . fluide 1 fluide 2 x

Université d’Angers DEUG STU2 2/21 P1 – Réflexions & transmissions aux interfaces x Puisqu’il s’agit de fluides, les ondes propagées sont toutes longitudinales. On a donc les vitesses de propagation suivantes : et En arrivant sur l’interface, l’onde incidente Ui donne naissance à une onde réfléchie Ur et une onde transmise Ut. Afin de formaliser le comportement de l’onde à l’interface, il nous faut exprimer les vibrations en notation complexe : Puisque : et que :

 coefficient de réflexion Université d’Angers DEUG STU2 3/21 P1 – Réflexions et transmissions aux interfaces On peut alors écrire l’expression complexe des trois ondes impliquées dans le passage à l’interface : on tient compte du sens de propagation et de la nature du milieu de propagation. Définissons les coefficients de réflexion et de transmission pour les amplitudes de vibration :  coefficient de réflexion  coefficient de transmission

Comme on doit vérifier la continuité des amplitudes à l’interface : Université d’Angers DEUG STU2 4/21 P1 – Réflexions et transmissions aux interfaces Comme on doit vérifier la continuité des amplitudes à l’interface : De même, on doit vérifier la continuité des pressions acoustiques : où

On trouve de même : et donc : Soit encore : Université d’Angers DEUG STU2 5/21 P1 – Réflexions et transmissions aux interfaces On trouve de même : et donc : Soit encore : Définissons alors les coefficients de réflexion et de transmission pour les amplitudes de pression acoustique :

Bilan : On en déduit aussi : par soustraction par addition 6/21 Université d’Angers DEUG STU2 6/21 P1 – Réflexions et transmissions aux interfaces Bilan : par soustraction par addition On en déduit aussi :

En fonction des impédances acoustiques, on a : Université d’Angers DEUG STU2 7/21 P1 – Réflexions et transmissions aux interfaces En fonction des impédances acoustiques, on a :

Université d’Angers DEUG STU2 8/21 P1 – Réflexions et transmissions aux interfaces Définissons à présent les coefficients de réflexion et de transmission relatifs aux intensités acoustiques : Donc : Les coefficients de réflexion et de transmission, qu’ils soient relatifs aux amplitudes de vibration, de pressions acoustiques ou aux intensités, dépendent uniquement des impédances acoustiques des fluides se trouvant de part et d’autre de l’interface.

Comme l’interface n’absorbe pas d’énergie, on doit vérifier que Université d’Angers DEUG STU2 9/21 P1 – Réflexions et transmissions aux interfaces Remarque : Comme l’interface n’absorbe pas d’énergie, on doit vérifier que Vérification : CQFD Voyons les conséquences pour les cas limites…

 Si les impédances acoustiques des deux milieux sont Université d’Angers DEUG STU2 10/21 P1 – Réflexions et transmissions aux interfaces  Si les impédances acoustiques des deux milieux sont identiques (Z1=Z2), alors on remarque que R = 0 et T =1. Il n’y a donc pas de réflexion, l’onde est totalement transmise d’un milieu à l’autre. On dit qu’il y a adaptation d’impédance.  Si Z1<<Z2, alors on a R  1 et T  0 : il y a réflexion totale.  Si Z1>>Z2, alors on a R  1 et T  0 : il y a réflexion totale. On constate alors que la transmission est d’autant plus grande que les impédances acoustiques des deux milieux sont proches.

   Illustration : Z1 = Zair = aircair = 1,294x331 = 428 kg.m-2.s-1 Université d’Angers DEUG STU2 11/21 P1 – Réflexions et transmissions aux interfaces Illustration :    Z1 = Zair = aircair = 1,294x331 = 428 kg.m-2.s-1 Z1 << Z3 < Z2 Z2 = Zsol = solcsol  2500x6000 = 1,5.107 kg.m-2.s-1 Z3 = Zeau = eauceau  1000x1500 = 1,5.106 kg.m-2.s-1 Donc : Tair-eau 10-3 et Rair-eau 1  il y a quasiment réflexion totale. Tsol-eau 0,33 et Rsol-eau 0,67  les vibrations du sol sont en partie transmises dans l’eau.

2 – Interface solide-fluide Université d’Angers DEUG STU2 12/21 P1 – Réflexions et transmissions aux interfaces 2 – Interface solide-fluide Si on se place dans la configuration où Zsolide>>Zfluide, alors on peut admettre qu’il y a pratiquement réflexion totale à l’interface. On considère alors une onde incidente transversale dans le milieu solide : Après réflexion à l’interface, l’onde transversale donne naissance à deux ondes : fluide solide  une transversale  une longitudinale La direction prise par ces deux ondes est régie par la loi de Snell-Descartes… z

Loi de Snell-Descartes : Université d’Angers DEUG STU2 13/21 P1 – Réflexions et transmissions aux interfaces solide fluide z Loi de Snell-Descartes : Milieu (1) Milieu (2) Or, ici il s’agit d’un seul et même milieu, mais dans lequel la vitesse de propagation diffère selon la nature de l’onde. Donc : onde réfléchie transversale onde incidente transversale onde réfléchie longitudinale et :

Si l’onde incidente est longitudinale, on a : Université d’Angers DEUG STU2 14/21 P1 – Réflexions et transmissions aux interfaces Si l’onde incidente est longitudinale, on a : fluide solide z

3 – Interface solide-solide Université d’Angers DEUG STU2 15/21 P1 – Réflexions et transmissions aux interfaces 3 – Interface solide-solide On considère deux milieux solides (1) et (2) caractérisés par les vitesses de propagation longitudinales et transversales (vL1,vT1) et (vL2,vT2). On supposera que les vitesses dans le milieu (1) sont inférieures à celles dans le milieu (2). Solide (1) Solide (2) z

vitesses de propagation très variées Université d’Angers DEUG STU2 16/21 P1 – Réflexions et transmissions aux interfaces 4 – Application à l’étude des séismes L’étude de la propagation en milieu solide a montré qu’on pouvait distinguer deux vitesses de propagation :  onde longitudinale : vitesse la plus grande onde P (primae)  onde transversale : vitesse la plus faible onde S (secundae) De part la nature transversale de leurs vibrations, les ondes S sont les plus intenses… donc les plus destructrices. Toute onde sismique est généralement de très basse fréquence (qq Hz). L’application directe des différents principes vus dans ce cours n’est pas suffisante ; les raisons principales sont les suivantes :  Le globe terrestre n’est pas un matériau homogène  diversité géologique de la croûte terrestre vitesses de propagation très variées  structure en couches

 Effet des discontinuités Université d’Angers DEUG STU2 17/21 P1 – Réflexions et transmissions aux interfaces  Effet de la pression au sein d’un même matériau (par exemple le manteau), la pression augmente avec la profondeur  la densité (masse volumique) et les coefficients de Lamé augmentent alors avec la pression et la profondeur : globalement, les vitesses augmentent avec la profondeur  Effet des discontinuités Les discontinuités telles que le passage du manteau solide au noyau externe liquide provoquent des effets complexes dont le plus simple est par exemple l’extinction des ondes S lors de la transmission d’un milieu solide à un milieu liquide.

P S 18/21 Université d’Angers DEUG STU2 P1 – Réflexions et transmissions aux interfaces S P 2 4 6 8 10 12 14 2000 4000 6000 profondeur (km) vitesse (km.s-1) Manteau (solide) Noyau externe (liquide) Noyau interne Croûte

 Courbure des rais sismiques Université d’Angers DEUG STU2 19/21 P1 – Réflexions et transmissions aux interfaces  Courbure des rais sismiques L’augmentation continue de la vitesse de propagation avec la profondeur a pour effet la courbure des rais de propagation. A titre de démonstration, considérons l’interface entre deux milieux caractérisés par des vitesses de propagation voisines : v v+dv Les rais de propagation (rais sismiques) se courbent progressivement avec la profondeur.

vitesse croissante avec la profondeur Université d’Angers DEUG STU2 20/21 P1 – Réflexions et transmissions aux interfaces A l’échelle du globe, s’il n’y avait pas de discontinuité, on observerait : globe parfaitement homogène vitesse croissante avec la profondeur

PkP PkikP PP P PcP Conventions d’écriture : Université d’Angers DEUG STU2 21/21 P1 – Réflexions et transmissions aux interfaces En tenant compte des discontinuités et de la courbure des rais sismiques, les choses se compliquent… Conventions d’écriture : PkP PkikP P : onde directe PP PP : une réflexion en surface PcP : une réflexion sur le noyau externe (core) PkP : une transmission par le noyau externe (kern) i : transmission par le noyau interne (innercore) P PcP