Maggy Schneider Université de Liège Entre enseignement secondaire et enseignement supérieur : deux niveaux praxéologiques pour deux « institutions » distinctes Maggy Schneider Université de Liège

Une pratique courante au secondaire (supérieur) … … les praxéologies « à trous » (Rouy) où l’on imite le discours universitaire tout en l’édulcorant d’aspects jugés trop délicats pour ce niveau, par exemple, les propriétés topologiques des réels utiles au lien entre croissance/décroissance d’une fonction et signe de sa dérivée. On les remplace par des gestes d’ostension qui butent sur les illusions de l’empirisme

Un discours qui ne tient pas compte des interrogations des élèves Douter que la limite d’une suite de sommes d’aires de rectangles donne la valeur exacte d’une aire curviligne car ces rectangles n’épousent pas parfaitement la surface ou « se réduisent en segments »

Un rapport non distancié aux objets du « réel » L’empirisme comme obstacle épistémologique en sciences (Bachelard) mais aussi en maths (Schneider) Autre symptôme : déduire un rapport entre les volumes de 2 solides de l’invariance du rapport des aires des surfaces qui les « composent » ou les « engendrent », ce qui n’est pas toujours vrai

Un rapport non distancié aux objets du « réel » Et pourtant, la tentation est grande de considérer que les mesures de grandeurs se doivent d’exprimer ce que l’on « voit » des grandeurs elles-mêmes. Les mesures sont alors plus des reflets des objets du « monde physique », ce qui fait obstacle à leur conceptualisation mathématique Cet obstacle est signe d’une absence de distanciation entre les phénomènes observés et les concepts créés pour les modéliser : il est une manifestation du positivisme empirique

Un rapport non distancié aux objets du « réel » Un exemple historique : définir l’aire d’une surface courbe comme la limite de la somme des aires des triangles d’une surface polyédrale inscrite, jusqu’au contre-exemple de Schwarz en 1883

D’où la nécessité d’un premier niveau praxéologique Praxéologie « grandeurs » Les tâches fondamentales consistent à déterminer des aires curvilignes, des vitesses variables, des tangentes et à optimiser des grandeurs, par des techniques « conviviales » : calcul de limites, de dérivées, de primitives Le concept de limite apparaît sous une forme embryonnaire : c’est ce qu’on obtient en supprimant des termes dans une expression algébrique, sans jeu de compensations (à l’instar de Lagrange)

Un premier niveau praxéologique C’est à ce niveau que doivent être gérées les questions qu’une vision empiriste induit sur la pertinence des techniques : « Un calcul de limite peut-il donner la valeur exacte d’une aire curviligne ou d’une vitesse instantanée ? » D’où la nécessité d’un discours technologique qui ne s’apparente pas à un discours théorique standard dans lequel les aires, vitesses, … sont définies par le biais du concept de limite

Un premier niveau de discours technologique On justifie que ce calcul donne bien ce que l’on cherche, au prix d’une « validation » non canonique (intuitions géométriques ou cinématiques, validation pragmatique) Par exemple, jouer sur un encadrement d’une aire curviligne pour prouver sa valeur par l’absurde

Ou une validation « pragmatique » Ou rendre crédible une nouvelle technique, sujette à caution, en montrant qu’elle permet de retrouver des résultats déjà acquis par d’autres méthodes A l’instar de Fermat qui met à l’épreuve sa méthode d’adégalité, où intervient un infinitésimal au statut ambigu, en l’appliquant à un problème d’optimisation et un autre de tangente déjà résolus dans l’Antiquité

Praxéologie « modélisation fonctionnelle » A ce niveau, la praxéologie « Grandeurs » s’articule avec la praxéologie « modélisation fonctionnelle » ou étude de fonctions par classes paramétrées, ce qui permet de rassembler des problèmes auxquels s’appliquent de manière semblable les opérateurs de dérivation et intégration. Voir ppt sur « Fonctions homographique et classes paramétrées »

Deuxième niveau praxéologique : le modèle déductif Définir mathématiquement les objets initiaux (vitesses, aires, …) par les techniques qui permettaient de les déterminer au stade précédent, ce qui suppose un travail de conceptualisation qui donne prise au raisonnement déductif (concept de limite, d’intégrale définie, …) Agencer les pièces du modèle en une organisation déductive où le mode de validation est exempt de toute considération liée aux contextes d’origine

Une conquête lente dans l’histoire Emergence du concept de limite dans l’histoire : Aires et volumes « curvilignes » (intégrale) Tangentes (dérivée) Vitesses variables (dérivée) Optimisation (dérivée) Méthode d’adégalité chez Fermat Fédération de tous les problèmes par Newton et Leibniz

Le « concept » de dérivée chez Fermat (1601-1665) Couper un segment en deux parties dont les longueurs ont un produit maximal Adégaler : a (b - a) ≈ (a + e) (b - a - e) be ≈ 2ae + e2 (diviser par e) b ≈ 2a + e (supprimer e) b = 2a Calcul légitimé par le fait qu’une méthode géométrique (Euclide) donne le même résultat Double statut de « l’infinitésimal »

Une conquête lente dans l’histoire Du calcul infinitésimal à l’analyse : Euler, le concept de fonction et le renversement de l’ordre d’exposition de la théorie : les questions d’ordre géométrique ou physique deviennent des applications Lagrange et la reformulation de l’analyse en termes de fonctions dérivées et de fonctions primitives Cauchy et la volonté d’une refonte déductive basée sur le concept « mère » de limite, respectant la « rigueur des géomètres grecs de l’Antiquité » Bolzano et le projet métaphysique d’épurer le discours de toute connotation géométrique ou cinématique et de définir la continuité numérique

Limite d’une « variable » versus limite d’une fonction Lorsque les valeurs successivement attribuées à une même variable s’approchent indéfiniment d’une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l’on voudra, cette dernière est appelée la limite de toutes les autres.   (Cauchy, 1789-1857)

Connotations parasites Dans la formulation de limite d’une variable, il y a aussi une référence implicite au temps : « successives », « s’approchent indéfiniment », « finit par devenir et rester … » De manière générale, le langage reste fort géométrique ou cinématique : se « rapprocher de » ou ambigu : « proche de l’infini »

Connotations parasites Projet de Bolzano formulé en 1817 à propos du théorème des valeurs intermédiaires : « Il n’y a absolument rien à objecter ni contre la justesse ni contre l’évidence de ce théorème géométrique. Mais il est tout aussi manifeste qu’il y a là une faute intolérable contre la bonne méthode qui consiste à vouloir déduire les vérités des mathématiques pures (ou générales, c-à-d de l’arithmétique, de l’algèbre ou de l’analyse) de considérations qui appartiennent à une partie appliquée (ou spéciale) seule, à savoir la géométrie. […] Il faut rejeter de même la démonstration que certains ont établie à partir du concept de continuité d’une fonction en y faisant intervenir les concepts de temps et de mouvement »

Inversion didactique Histoire Enseignement Intégrales (aires, volumes) Dérivées (tangentes, vitesses, optimisation) Réorganisation autour des concepts de fonction et de limite Continuité Réels Enseignement Réels Continuité Théorie des limites Dérivées et intégrales Applications géométriques, cinématiques ou pratiques

Deux niveaux praxéologiques Deux facettes de l’activité mathématique qui conduisent à deux niveaux praxéologiques (Schneider) Praxéologies « modélisation » : on cherche à modéliser des objets non définis mathématiquement mais dont on a une certaine connaissance (ce sont des ‘préconstruits’ au sens de Chevallard et ils fonctionnent comme des ‘objets mentaux’ au sens de Freudenthal) Modes de validation non standard Praxéologies « déduction » : on construit une organisation déductive des éléments des modèles ainsi construits, les objets étant définis par les techniques qui les modélisent

Négligence du premier niveau ? Comme retombée actuelle d’une lointaine réforme : celle des « mathématiques modernes ? Partage des deux types de praxéologies entre les deux institutions ? Piste des discours « heuristiques » d’acculturation aux praxéologies « déduction » et des îlots déductifs