Proportions

Considérons ces deux produits égaux : a · d = b · c. Il s’est avéré très pratique d’écrire cette égalité sous forme de tableau dit « de proportion » Titre en haut Titre en bas Titre à gauche Titre à droite a d b c Les quatre lettres désignent quatre grandeurs physiques ou mathématiques qu’il convient souvent de nommer avec les quatre titres ornant le tableau. a d b c Pour étudier les propriétés mathématiques, ne retenons que les quatre grandeurs.

Considérons ces deux produits égaux : a · d = b · c. La multiplication est commutative donc … on peut permuter les deux nombres dans chaque diagonale d a c b a d c b a d b c d a b c c b d a

Considérons ces deux produits égaux : a · d = b · c. Divisons les deux membres par d c : a · d b · c d ∙ c = a c b d = puis simplifions Donc les colonnes quotients définissent des égaux. a c b d = d c 1 d c 1 Multiplions les deux membres par d c soit donc a d c b d c c d = puis simplifions a ∙ d = b ∙ c Si deux quotients sont égaux, les quatre nombres qui les définissent forment les colonnes d’un tableau de proportion a d b c

Considérons ces deux produits égaux : a · d = b · c. Divisons les deux membres par d b : a · d b · c d ∙ b = a b c d = puis simplifions ou encore a / b = c / d Les lignes définissent deux quotients égaux. d b 1 a b c d = d b 1 Multiplions les deux membres par d b = alors donc a d b c d b b d = puis simplifions a ∙ d = b ∙ c donc Si deux quotients sont égaux, les quatre nombres qui les définissent forment les lignes d’un tableau de proportion. a d b c /

Considérons ces deux produits égaux : a · d = b · c. Si on inverse deux quotients égaux … on obtiendra deux autres quotients égaux donc on peut permuter les lignes et permuter les colonnes c b d a b d a a d b c

Considérons ces deux produits égaux : a · d = b · c. Divisons les deux membres par d : Divisons les deux membres par b : et simplifions Le diviseur, à droite, est sur la diagonale du nombre recherché Divisons les deux membres par c : a d b b c = c a d a d d b c = Le diviseur, à droite, est sur la diagonale du nombre recherché et simplifions a b c d = Divisons les deux membres par a : a d a b c = Le diviseur, à droite, est sur la diagonale du nombre recherché et simplifions d b c a = a d b c Ces résultats sont connus sous l’expression « recherche de la quatrième proportionnelle »

Et ce n’est pas tout !

On peut élever les quatre nombres à la même puissance an dn = bn cn ou à n’importe quelle puissance a2 d2 = b2 c2 a d a d = b c b c Elevons au carré a d = b c a n d n b n c n a 2 d 2 b 2 c 2 a d b c On peut élever les quatre nombres à la même puissance

a d b c q r q r = a d = b c q r q r = ou divisons a q d r = b q c r Multiplions par un produit de deux nombres q r a d = b c a /q d /r b /q c /r a q d r b q c r a d b c On peut multiplier ou diviser par un même nombre les deux nombres de chaque ligne

a d b c q r q r = a d = b c q r q r = ou divisons a q d r = b r c q Multiplions par un produit de deux nombres q r a d = b c a /q d /r b /r c /q a q d r b r c q a d b c On peut multiplier ou diviser les deux nombres de chaque colonne par un même troisième

On peut extraire la racine carrée ou n-ième des quatre nombres a d = b c n a d = b c n ou une racine n-ième a d = b c a d = b c Extrayons la racine carrée a d = b c a d b c n On peut extraire la racine carrée ou n-ième des quatre nombres

Si a c b d = q alors Si a c b d = q alors et a = q c b = q d et a = q c b = q d a – b = q c – q d a + b = q c + q d a – b = q (c – d) a + b = q (c + d) a – b c – d = q a + b c + d = q c – d a – b a d b c a + b c + d

Applications diverses

Résolutions de certaines équations Exemple 3 : Trouver les nombres x tels que Exemple 1 : on donne trois nombres a, b et c. Trouver les nombres x tels que a c b x = 25 4 13 5 – x = Réponse : la solution unique est x c b a = Réponse : la quatrième proportionnelle est la formule contenant l’inconnue 5 – x = 4 x 13 25 5 = + x 5 – = x Exemple 2 : on donne deux nombres a, d. Trouver les nombres x tels que a x d = On additionne l’inconnue aux deux membres Réponse : la règle des produits croisés donne x x = a d soit x2 = a d. - Si a d < 0 On soustrait le quotient aux deux membres a d b c x alors nous n’avons pas de solution (un carré est toujours positif). x x - Si a d = 0 alors nous avons une solution unique (annulation d’un carré) x = 0 On dit que x est la « moyenne proportionnelle » de a et d - Si a d > 0 alors nous avons deux solutions (par définition de la racine carrée) x = a d ou –

Moles et masses C : 4 x 12 = 48 O : 6 x 16 = 96 la masse molaire moléculaire de l’acide tartrique COOH – CHOH – CHOH – COOH est H : 6 x 1 = 6 C4 O6 H6 : 150 g mol-1 On en pèse 86 grammes. Quelle est la quantité de matière* pesée ? 1 x 86 150 Réponse : x = Une mole x moles Moles Masse (g) 1 86 150 x = 0,573 mol a d b c * Par convention internationale en chimie, la quantité de matière est le nombre de moles de molécules

Concentration commandée = c’ Moles et concentration Applications diverses Un litre V ml Moles Volume (ml) 1000 n c V pipette Solvant q. s. p. V’ c 1000 V n c’ 1000 V’ n Solution mère Solution fille Volume commandé = V’ Volume à choisir c’ V’ = 1000 n c V = 1000 n Concentration = c Concentration commandée = c’

Concentration demandée = c’ Moles et concentration Calcul d’une dilution Un litre V ml Moles Volume (ml) 1000 n c V pipette Solvant q. s. p. V’ c 1000 V n c’ 1000 V’ n Solution mère Solution fille Volume commandé = V’ Volume à choisir c’ V’ = 1000 n V = c’ V’ c Concentration = c Concentration demandée = c’

Troisième loi de Kepler Son carré Son cube Période (jours) 88,0 225 365 687 4330 10 800 301 000 Son carré Son cube Demi-grand axe (Terre = 1,00) 0,387 0,723 1,000 1,52 5,20 9,54 19,6 Planète Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Recherche d’une proportion entre deux de ces colonnes (3e loi de Kepler) FIN