Les inégalités et les inéquations Une question de comparaison

Inégalités Contrairement à l’égalité, l’inégalité permet une comparaison entre deux expressions numériques, c’est-à-dire qui ne contiennent que des chiffres ou des nombres, sans variables. Symbole d’inégalité Signification Exemple > Plus grand que… Supérieur à… Plus que… 10 > 5 < Plus petit que… Inférieur à… Moins que… 2,1 < 2,2 ≥ Plus grand ou égal à... Supérieur ou égal à… Plus ou égal à… 32 ≥ 9 ≤ Plus petit ou égal à… Inférieur ou égal à… Moins ou égal à… 15 ≤ 4*4

Inéquations Une inéquation est un énoncé mathématique contenant une ou des variables et un symbole d’inégalité. Exemples: -2a + 3 < 6 6a – 2 ≤ 4b 4a – 5 ≥ 5b 7 + (4a + 5) > 20 a > 6 a + b ≥ 3c

Règles de transformations des inéquations Plusieurs transformations sont possibles avec les inéquations. Par contre, il est impératif de connaître les règles qui encadrent ces transformations pour arriver au bon ensemble solution. Types de transformations Effets sur l’inéquation Exemples Addition ou soustraction d’un nombre des deux côtés de l’inéquation L’inéquation conserve le même sens 3x + 4 ≥ 10 3x + 4 + 3 ≥ 10 + 3 3x + 7 ≥ 13 Multiplication ou division par un nombre positif des deux côtés de l’inéquation 2x – 4 < 3 2*(2x – 4) < 2*(3) 4x – 8 < 6 Multiplication ou division par un nombre négatif des deux côtés de l’inéquation L’inéquation est inversée 5x + 4 > 10 -3*(5x + 4) < -3* (10) -15x – 12 < -30

Inéquation du premier degré à deux variables 1ère étape: Identifier la ou les variables dans la situation Exemple: Votre mère vous demande d’aller acheter des pommes et des oranges à l’épicerie. Il en coûte 0,25$ pour une pomme et 0,40$ pour une orange. Vous devez acheter autant de pommes et d’oranges que vous pouvez sans dépasser le budget de 5$ que vous avez. Combien pouvez acheter de pommes et d’oranges pour 5$? Variables: -Le nombre de pommes: x -Le nombre d’oranges: y

Inéquation du premier degré à deux variables 2e étape: Établir les expressions à comparer. Expression exprimant le coût des pommes et des oranges: 0,25x + 0,40y Expression exprimant le coût maximal de vos achats: 5

Inéquation du premier degré à deux variables 3e étape: Écrire l’inéquation en choisissant le symbole d’inégalité approprié. Inéquation: 0,25x + 0,40y ≤ 5 On peut ensuite vérifier notre inéquation en remplaçant les variables par des valeurs numériques. Essayons avec x = 8 et y = 7 (0,25*8) + (0,40*7) ≤ 5 2 + 2,80 ≤ 5 4,80 ≤ 5

Inéquation du premier degré à deux variables Une solution d’une inéquation à deux variables correspond à un couple de valeurs (x,y) qui vérifient cette inéquation. Comme c’est une inéquation, plusieurs couples de valeurs peuvent être des solutions. L’ensemble de ces couples est appelé ensemble-solution.

Inéquation du premier degré à deux variables Le demi-plan L’ensemble-solution d’une inéquation peut-être représenté graphiquement.

Inéquation du premier degré à deux variables Comprendre le demi-plan -Tous les couples faisant parti de l’ensemble-solution sont situés du même côté de la droite correspondant à l’inéquation. -La droite frontière d’un demi-plan est un trait plein lorsque l’équation fait partie de l’inéquation (≤ ou ≥) ou un trait en pointillé lorsque l’équation est exclue (< ou >).

Inéquation du premier degré à deux variables Règles pour tracer une inéquation dans un plan cartésien. 1-Tracer la fonction dans le plan cartésien comme si on avait une égalité. Exemple: 2x – 2 ≥ y deviendrait 2x – 2 = y 2-Indiquer le type d’inégalité. Dans ce cas-ci, nous avons ≥ Comme nous avons un signe d’égalité, le trait sera plein.

Inéquation du premier degré à deux variables 3-Hachurer la zone du plan cartésien qui correspond à l’ensemble-solution. Si nous avons les signes < ou ≤, la région hachurée sera sous la droite. Si nous avons les signes > ou ≥, la région hachurée sera au-dessus de la droite.

Inéquation du premier degré à deux variables Comment trouver une inéquation du premier degré à deux variables dans un plan cartésien. 1-Trouver l’équation de la droite frontière sous la forme y = ax + b -Trouver la pente (a = Δy/Δx) -Remplacer x et y dans votre équation pour trouver la valeur de b 2-Trouver le signe d’inégalité à partir de la droite (pointillée ou pleine) et de la région hachurée (au-dessus ou sous la droite)

Exercices Réactivation 2 et 3 p.5 et 6 Mise-à-jour p.11 # 2,3 p.12 # 6,7 p.13 # 8,9 p.14 # 11,12