V Positions respectives des courbes de deux fonctions 1°) Signification : Il s’agit de savoir pour quels x la courbe de la fonction f est au-dessus, ou croise, ou est en-dessous de la courbe de la fonction g. f g

VI Positions respectives des courbes de deux fonctions 1°) Signification : Il s’agit de savoir pour quels x la courbe de la fonction f est au-dessus, ou croise, ou est en-dessous de la courbe de la fonction g. Cf est en-dessous de Cg f Cf croise celle de Cg g Cf est au-dessus de Cg

VI Positions respectives des courbes de deux fonctions 1°) Signification : Il s’agit de savoir pour quels x la courbe de la fonction f est au-dessus, ou croise, ou est en-dessous de la courbe de la fonction g. Cf est en-dessous de Cg f(x) < g(x) f Cf croise celle de Cg f(x) = g(x) g Cf est au-dessus de Cg f(x) > g(x)

Exercice 9 : Soient les fonctions définies sur R par f(x) = x² + 4x – 5 et g(x) = - 2x² + 2x + 12 1°) Déterminez leurs courbes, et leurs intersections avec l’axe des abscisses. 2°) Déterminez leurs positions respectives. 3°) Déduisez-en leurs tracés.

1°) f(x) = x² + 4x – 5 f est une fonction polynôme degré 2 donc sa courbe est une parabole, orientée vers le haut car a > 0. Son axe de symétrie a pour équation x = - b/(2a) = - 4/(2(1)) = - 2 Son sommet a pour coordonnées ( - 2 ; f(- 2) ) = ( - 2 ; - 9 ) Δ = b² - 4ac = (4)² - 4(1)(-5) = 36 = 6² Δ > 0 donc deux racines [ - b + √Δ]/(2a) = [ - (4) + 6 ]/(2(1)) = ( - 4 + 6 )/2 = 1 et [ - b - √Δ]/(2a) = ( - 4 - 6 )/2 = - 5 donc la courbe de f croise l’axe des abscisses en deux points de coordonnées ( 1 ; 0 ) et ( – 5 ; 0 ).

1°) g(x) = - 2x² + 2x + 12 g est une fonction polynôme degré 2 donc sa courbe est une parabole, orientée vers le bas car a < 0. Son axe de symétrie a pour équation x = - b/(2a) = - 2/(2(-2)) = ½ Son sommet a pour coordonnées ( ½ ; f(½) ) = ( 0,5 ; 12,5 ) Δ = b² - 4ac = (2)² - 4(-2)(12) = 100 = 10² Δ > 0 donc deux racines [ - b + √Δ]/(2a) = [ - (2) + 10 ]/(2(-2)) = ( - 2 + 10 )/(-4) = - 2 et [ - b - √Δ]/(2a) = ( - 2 - 10 )/(-4) = 3 donc la courbe de g croise l’axe des abscisses en deux points de coordonnées ( 3 ; 0 ) et ( – 2 ; 0 ).

2°) Positions respectives : f(x) < g(x) x² + 4x – 5 < - 2x² + 2x + 12 x² + 4x – 5 + 2x² - 2x - 12 < 0 3x² + 2x - 17 < 0 Δ = b² - 4ac = (2)² - 4(3)(-17) = 208 = (2√52)² Δ > 0 donc deux racines x1 = [ - b + √Δ]/(2a) = [ - (2) + 2√52 ]/(2(3)) = ( - 1 + √52 ) / 3 ≈ 2,07… et x2 =[ - b - √Δ]/(2a) = ( - 1 - √52 ) / 3 ≈ - 2,73… donc la courbe de f croise la courbe de g en deux points d’abscisses x1 et x2 Le polynôme est du signe de a = 3 > 0 à l’extérieur des racines, donc la courbe de f est en-dessous de celle de g pour tous les points d’abscisses dans ] x2 ; x1 [, et elle est au-dessus de celle de g pour tous les points d’abscisses dans ] - ∞ ; x2 [ U ] x1 ; + ∞ [.

3°) Déduisez-en leurs tracés. f : sommet ( - 2 ; - 9 ) et points ( 1 ; 0 ) et ( – 5 ; 0 ). g : sommet ( 0,5 ; 12,5 ) et points ( 3 ; 0 ) et ( – 2 ; 0 ). la courbe de f croise la courbe de g en deux points d’abscisses x1 ≈ 2,07… et x2 ≈ - 2,73… la courbe de f est en-dessous de celle de g pour tous les points d’abscisses dans ] x2 ; x1 [, elle est au-dessus de celle de g pour tous les points d’abscisses dans ] - ∞ ; x2 [ U ] x1 ; + ∞ [. f - 5 - 2 1 - 9

3°) Déduisez-en leurs tracés. f : sommet ( - 2 ; - 9 ) et points ( 1 ; 0 ) et ( – 5 ; 0 ). g : sommet ( 0,5 ; 12,5 ) et points ( 3 ; 0 ) et ( – 2 ; 0 ). la courbe de f croise la courbe de g en deux points d’abscisses x1 ≈ 2,07… et x2 ≈ - 2,73… la courbe de f est en-dessous de celle de g pour tous les points d’abscisses dans ] x2 ; x1 [, elle est au-dessus de celle de g pour tous les points d’abscisses dans ] - ∞ ; x2 [ U ] x1 ; + ∞ [. f 12,5 - 5 ≈ - 2,73 - 2 0,5 1 ≈ 2,07 3 g - 9

3°) Déduisez-en leurs tracés. f : sommet ( - 2 ; - 9 ) et points ( 1 ; 0 ) et ( – 5 ; 0 ). g : sommet ( 0,5 ; 12,5 ) et points ( 3 ; 0 ) et ( – 2 ; 0 ). la courbe de f croise la courbe de g en deux points d’abscisses x1 ≈ 2,07… et x2 ≈ - 2,73… la courbe de f est en-dessous de celle de g pour tous les points d’abscisses dans ] x2 ; x1 [, elle est au-dessus de celle de g pour tous les points d’abscisses dans ] - ∞ ; x2 [ U ] x1 ; + ∞ [. f 12,5 - 5 ≈ - 2,73 - 2 0,5 1 ≈ 2,07 3 g - 9