Grandeurs sinusoïdales Et leurs représentations!

Grandeurs associées Peut on ajouter facilement deux sinusoïdes ???? +

Grandeurs associées Complexe Fresnel 𝑉 1788 - 1827

Grandeurs associées Graphique Association (transformation mathématique dans les deux sens) Complexe

Grandeurs associées Fresnel Longueur du vecteur (à l’échelle) Angle du vecteur avec l’origine

j 𝑈 Grandeurs associées Fresnel direction du vecteur Longueur du vecteur j Échelle en cm par V

𝑈 = Ux+j.Uy Ux = U. cos(j) Uy = U. sin(j) Grandeurs associées Complexe 𝑈 = U avec

Mesure appareil 1: U=230V I=6A j= 63° Mesure appareil 2: U=230V I=5A Exemple: Mesure appareil 1: U=230V I=6A j= 63° Mesure appareil 2: U=230V I=5A j= 0°C Fusible en amont: 10 A, se déclenchera t il si l’on branche les deux appareils ensemble?

𝐼2 𝐼1 𝐼1 𝐼2 + Exemple: Graphiquement: Mesure appareil 1: U=230V I=6A j= 63° Mesure appareil 2: U=230V I=5A j= 0° 1cm pour 1A 𝐼2 𝐼1 Graphiquement: Val eff de la somme des courants=9,8 A: Le disjoncteur ne déclenche pas! 𝐼1 𝐼2 +

Déphasage entre deux grandeurs sinusoïdales

Déphasage entre deux grandeurs sinusoïdales a: retard de ug sur uc T a    = (a/T) 2 (en radians)  = (a/T) 360 (en degres) de plus a/T = a*f  !!!

U = Z . I U = Z . I LOI D’OHM(convention récepteur): Les dipôles linéaires en régime sinusoïdal LOI D’OHM(convention récepteur): U = Z . I U = Z . I Arg(Z) = j = déphasage entre u et i (retard de i sur u)

Z = R RESISTANCE: Les dipôles linéaires en régime sinusoïdal i(t) u(t) Loi générale en convention récepteur: u(t) = R . i(t) Z = R

I = j 𝜔.C.U CONDENSATEUR: Si u(t) = U 2 .sin⁡(𝜔.𝑡+𝜑) Les dipôles linéaires en régime sinusoïdal CONDENSATEUR: Loi générale en convention récepteur: q(t) = C.u(t) et i = dq/dt i(t) i(t) = C.du/dt u(t) Si u(t) = U 2 .sin⁡(𝜔.𝑡+𝜑) du/dt= U 2 .𝜔.cos⁡(𝜔.𝑡+𝜑) i(t)=C.U. 2 .𝜔.𝑠𝑖𝑛(𝜔.𝑡+𝜑 +/2) I = j 𝜔.C.U

UL = j 𝜔.L.IL INDUCTANCE(pure): Si iL(t) = IL 2 .sin⁡(𝜔.𝑡+𝜑) Les dipôles linéaires en régime sinusoïdal INDUCTANCE(pure): Loi générale en convention récepteur: iL(t) = L.diL/dt Si iL(t) = IL 2 .sin⁡(𝜔.𝑡+𝜑) diL/dt= IL 2 .𝜔.cos⁡(𝜔.𝑡+𝜑) uL(t)=L.IL. 2 .𝜔.𝑠𝑖𝑛(𝜔.𝑡+𝜑 +/2) UL = j 𝜔.L.IL

Résistance Condensateur Inductance U = R . I (val eff) Les dipôles linéaires en régime sinusoïdal Résistance Condensateur Inductance U = R . I (val eff) U = R . I (complexe) U = R . I (vecteur) U/I = R j = 0 U = I/C.w (val eff) U = - j . I /C.w (complexe) (vecteur: impossible) U/I = 1/C.w j = -p/2 (i en avance sur u) U = L.w.I (val eff) U = j . L.w.I (complexe) U/I = L.w j = p/2 (i en retard sur u)

Un peu de vocabulaire…. Z : impédance en  Les dipôles linéaires en régime sinusoïdal Un peu de vocabulaire…. Pour un dipôle : Z : impédance en  Y = 1 / Z = admittance en -1 La partie réelle de Z s’appelle la résistance (en ) La partie imaginaire de Z s’appelle la réactance (en ) La partie réelle de Y s’appelle la conductance (en -1) La partie imaginaire de Y s’appelle la susceptance (en -1)

Les dipôles linéaires en régime sinusoïdal Les lois des nœuds et des mailles restent valables en sinusoïdal et donc en notation complexes ( d'après les lois précédentes)   Les lois d'associations de dipôles sont les mêmes que pour les résistances, mais en notations complexes

Circuit RL Les dipôles linéaires en régime sinusoïdal Notations dipôles (instantanées) R L Notations impédances (val eff) R L.w Notations complexes R j.L.w uR uL UR UL UR UL

Circuit RL Les dipôles linéaires en régime sinusoïdal R L Z = R + j.L.w Z i j.L.w j R uR uL Module: Z = 𝑅 2 +(𝐿.𝜔)² u Idem Pythagore = atan(L.w/R) =acos(R/Z) = asin(L.w/Z) Argument: j = arg(Z)=atan(L.w/R)

Circuit RL Les dipôles linéaires en régime sinusoïdal R L U = Z.I Z.I UR = UR + UL U = R.I+j.L.w.I Z.I i j.L.w.I j R.I uR uL u

M A S l Les dipôles linéaires en régime sinusoïdal avec : It I10 L0 Rf R/g l avec :   Rf = 0.2 k L0 =0.5 H R/g = 4  l = 20 mH Calculer I1 pour V1 = 220 V ( 50 Hz ) en calculant It et I10

Les dipôles linéaires en régime sinusoïdal On choisit v1 origine des phases: V1 = V1 j j A °

Les dipôles linéaires en régime sinusoïdal IRf 1A I0 IL0