Exercice 11 Soient les points A et B sur une droite d en abscisses respectives 5 et 8. Déterminez l’ensemble des points M tels que AM . AB = 24

AM . AB = 24 AB = | xB - xA | = | 8 – 5 | = 3 Soit H le projeté orthogonal de M sur (AB). AM . AB = + AH × AB car AM . AB > 0 donc 24 = AH × 3 donc AH = 8 AM . AH = AM . AB > 0 donc AM et AH sont de même sens, donc AH = xH - xA donc xH = xA + AH = 5 + 8 = 13 M A B H 5 8 13 L’ensemble des points M est la droite perpendiculaire à (AB) passant par le point H d’abscisse 13.

AM . AB = x x’ + y y’ dans un repère orthonormé. Autre méthode : AM . AB = x x’ + y y’ dans un repère orthonormé. AM . AB = 24 = 3( x – 5 ) + 0×y 3x – 15 = 24 3x = 39 x = 13 L’ensemble des points M est la droite d’équation x = 13 M A B 0 1 5 8 13 A B M AB AM abscisse 5 8 x 3 x – 5 ordonnée y

Exercice 12 Soient les points A et B sur une droite d en abscisses respectives 2 et 12. Déterminez l’ensemble des points M tels que AM² - MB² = 60

Soit I le milieu de [AB]. xI = (xB + xA )/2 = 7 MA² - MB² = 60 = MA ² - MB ² = ( MA – MB ) . ( MA + MB ) Soit I le milieu de [AB]. xI = (xB + xA )/2 = 7 MA + MB = ( MI + IA ) + ( MI + IB ) = 2 MI + ( IA + IB ) = 2 MI MA - MB = ( MI + IA ) - ( MI + IB ) = IA - IB = IA + BI = BI + IA = BA donc ( 2 MI ) . ( BA ) = 60 donc IM . AB = 30 donc + IH × AB = 30 donc IH = 30/AB = 30/10 = 3 donc xH = xI + IH = 7 + 3 = 10 car IH et AB de même sens.

M A I H B 2 7 10 12 L’ensemble des points M est la droite perpendiculaire à (AB) passant par le point H d’abscisse 10.

Vérification : M A I H B 0 2 7 10 12 Dans ce repère orthonormé : M( 10 ; y ) MA( 2 – 10 ; 0 – y ) et MB ( 12 – 10 ; 0 – y ) MA² - MB² = ( (-8)²+(-y)² )² - ( 2²+(-y)² )² = (-8)² + (-y)² - ( 2² + (-y)² ) = 64 + y² - 4 – y² = 60

M A I H B 0 2 7 10 12 L’énoncé transformé en MA² = MB² + (√60)² correspond-il à une expression de type Pythagore ?

M A I H B 0 2 7 10 12 L’énoncé transformé en MA² = MB² + (√60)² correspond-il à une expression de type Pythagore ? Non, car …

M A I H B 0 2 7 10 12 L’énoncé transformé en MA² = MB² + (√60)² correspond-il à une expression de type Pythagore ? Non, car [MB] et [MA] forment une hypoténuse [AB] donc [MA] ne peut être l’hypoténuse.

donc HM² = AM² - AH² = BM² - BH² A I H B 0 2 7 10 12 L’énoncé transformé en MA² = MB² + (√60)² correspond-il à une expression de type Pythagore ? Non, car [MB] et [MA] forment une hypoténuse [AB] donc [MA] ne peut être l’hypoténuse. Il y a deux triangles rectangles : AHM et BHM, donc AH² + HM² = AM² et BH² + HM² = BM² donc HM² = AM² - AH² = BM² - BH² AM² - BM² = AH² - BH² = 8² - 2² = 64 – 4 = 60

Exercice 13 Soient les points E, A et B alignés dans cet ordre sur une droite d avec AE = a = 2 AB De part et d’autre de d on construit deux carrés ABCD et AEFG. (CG) et (BH) se croisent en un point K. Démontrez que (AK) et (BG) sont perpendiculaires.

C B Soit le repère orthonormé K D A G On étudie les droites : (BF) a pour équ. y = - 3x + 2a E F (CG) a pour équ. y = - ⅔x + (2a/3) Par résolution du système d’équations linéaires, leur point d’intersection est K( 4a/7 ; 2a/7 ). AK ( 4a/7 ; 2a/7 ) et BG( a ; - 2a ). Le repère est orthonormé donc AK . BG = x x’ + y y’ = (4a/7)a + (2a/7)(- 2a) = (4a²/7) + (- 4a²/7) = 0 A B C D E F G K - 2a a ? 2a - a

Démontrez que | u . v | ≤ ||u|| × ||v|| Exercice 14 Démontrez que | u . v | ≤ ||u|| × ||v||

Démontrez que | u . v | ≤ ||u|| × ||v|| u . v = ||u|| × ||v|| × cos ( u ; v ) | u . v | = ||u|| × ||v|| × | cos ( u ; v ) | – 1 ≤ cos ( u ; v ) ≤ 1 donc 0 ≤ | cos ( u ; v ) | ≤ 1 donc ||u||×||v||×0 ≤ ||u||×||v||×|cos (u ; v)| ≤ ||u||×||v||×1 donc 0 ≤ | u . v | ≤ ||u|| × ||v||

Résolvez les équations cos x + sin x = 1 puis cos x – sin x = √2 Exercice 15 Résolvez les équations cos x + sin x = 1 puis cos x – sin x = √2

cos x + sin x = 1 Dans un repère orthonormé, soient les vecteurs u( cos x ; sin x ) et v( 1 ; 1 ). 1 cos x + 1 sin x = x x’ + y y’ = u . v donc u . v = ||u||×||v||× cos( u ; v ) = 1 ||u|| = cos²x + sin²x = 1 = 1 et ||v|| = 1² + 1² = 2 donc 1 = 1 × √2 × cos ( u ; v ) donc cos( u ; v ) = 1/√2 donc ( u ; v ) = (π/4) + k2π ou - (π/4) + k2π

u( cos x ; sin x ) et v( 1 ; 1 ). ( u ; v ) = (π/4) + k2π ou - (π/4) + k2π ( u ; v ) = a – x avec x l’angle de u et a = π/4 l’angle de v. 1er cas : a – x = (π/4) + k2π donne x = a - (π/4) - k2π = 0 - k2π 2ème cas : a – x = - (π/4) + k2π donne x = a + (π/4) - k2π = (π/2) - k2π

cos x – sin x = √2 Dans un repère orthonormé, soient les vecteurs u( cos x ; sin x ) et v( 1 ; - 1 ). 1 cos x + (-1) sin x = x x’ + y y’ = u . v donc u . v = ||u||×||v||× cos( u ; v ) = √2 ||u|| = x² + y² = cos²x + sin²x = 1 = 1 et ||v|| = 1² + (-1)² = √2 donc √2 = 1 × √2 × cos ( u ; v ) donc cos( u ; v ) = 1 donc ( u ; v ) = 0 + k2π

u( cos x ; sin x ) et v( 1 ; - 1 ). ( u ; v ) = 0 + k2π ( u ; v ) = a – x avec x l’angle de u et a = - π/4 l’angle de v. a – x = 0 + k2π donne x = a - k2π = - π/4 - k2π

Exercice 16 En prenant deux vecteurs de coordonnées u ( cos a ; sin a ) et v ( cos b ; sin b ) dans un repère orthonormé, démontrez la formule de cos ( b – a ).

qui devient u . v = cos a cos b + sin a sin b Dans un repère orthonormé, soient les vecteurs u( cos a ; sin b ) et v( cos b ; sin b ). Le repère est orthonormé donc u . v = x x’ + y y’ qui devient u . v = cos a cos b + sin a sin b Et u . v = ||u||×||v||× cos( u ; v ) ||u|| = xu² + yu² car le repère est orthonormé. ||u|| = cos²a + sin²a = 1 = 1 idem ||v|| = 1 donc u . v = 1 × 1 × cos ( u ; v ) donc cos a cos b + sin a sin b = cos( u ; v )

b a ( u ; v ) = b – a cos a cos b + sin a sin b = cos( u ; v ) donc cos ( b – a ) = cos a cos b + sin a sin b