PROBLEME (Bordeaux 99) (12 points) L'unité de longueur est le centimètre. Données : Le triangle ABC est tel que AB = 6, AC = 8 et BC = 10; I est le milieu du segment [AB] et J le milieu du segment [AC] ; H est le pied de la hauteur issue de A. (codage de la figure) 1. a) Démontrer que le triangle ABC est rectangle. b) Exprimer de deux façons l'aire du triangle ABC, et en déduire AH. 2. Démontrer que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles, et que IJ = 5. 3. Soit D le point du segment [CJ] tel que CD = 2,5 et E le point d'intersection des droites (IJ) et (BD). a) Calculer DJ, puis EJ. b) Les droites (CE) et (AI) sont-elles parallèles? 4. a) Calculer l'aire du triangle BCD. b) En déduire l'aire du triangle EJD.

8 6 Déjà codé 10 Le triangle ABC est tel que AB = 6, AC = 8 et BC = 10; I est le milieu du segment [AB] et J le milieu du segment [AC] ; H est le pied de la hauteur issue de A.

1. a) Démontrer que le triangle ABC est rectangle. 6 8 10 Puisque l’on connaît les longueurs des 3 côtés, il faut appliquer la réciproque du théorème de Pythagore.

6 8 10 Le plus grand côté BC ² = 10² = 100 AB² + AC ² = 6² + 8² = 36 + 64 =100 On calcule séparément AB² + AC ² = BC² Donc le triangle ABC est rectangle en A d ’après la réciproque du théorème de Pythagore.

1. b. Exprimer de deux façons l'aire du triangle ABC 6 8 10 Aire (ABC) = Base  hauteur 2 Aire (ABC) = Base  hauteur 2 BC  AH 2 AB  AC 2 Aire (ABC) = Aire (ABC) = Aire (ABC) = 6  8 2 = 24 Aire (ABC) = 10  AH 2 = 5  AH

et en déduire AH. On obtient donc l ’équation : L ’égalité reste vraie si on divise les 2 membres par un même nombre non nul. 24 = 5  AH 5 24 5 D ’où AH = = 4,8

2. Démontrer que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles, et que IJ = 5. 6 8 10 5 Dans le triangle ABC, la droite qui joint le milieu I de [AB] au milieu J de [AC] est parallèle au 3ème côté [BC] (théorème des milieux qui est un cas particulier de la réciproque du théorème de Thales). De plus IJ = BC/2 = 10/2 = 5cm

Calculer DJ 6 8 10 5 1,5 2,5 Comme J est le milieu de [AC], JC = 8/2 = 4 Or CD=2,5 donc JD = 4 - 2,5 = 1,5

D  (JC) ; D  (BE) et (JE)//(BC) (cf question2) puis EJ. 10 2,5 1,5 Sommet commun aux 2 triangles Les triangles JDE et DBC sont tels que : D  (JC) ; D  (BE) et (JE)//(BC) (cf question2) Points alignés D ’après le théorème de Thales, on a : D = J E JE 1,5 2,5 = DE DB JE 10 On vérifie que (JE) et (CB) sont bien les parallèles C B CB

1,5 2,5 = DE DB JE 10 1,5 2,5 = JE 10 1,5  10 = 2,5  JE 2,5 2,5 D ’où JE = 6

Les droites (CE) et (AI) sont-elles parallèles? 10 2,5 1,5 6 5 Les triangles JAI et JEC sont tels que : A,J,C et I,J,E sont alignés dans cet ordre. JA JC = JI JE JA JC = 4 JI JE = 5 6 Donc d ’après la contraposée de la réciproque du théorème de Thales, (EC) et (AI) ne sont pas parallèles.