I. Définition II. Énergie de déformation III. Théorèmes énergétiques

Énergie de déformation : Wd = - Wint = Wext I. Définition F2 F1 état final état initial déformation élastique de la poutre Théorème de l’énergie cinétique + = 0 travail des forces extérieures Wext intérieures Wint Énergie de déformation : Wd = - Wint = Wext

Exemple : cas d’une sollicitation de traction Hypothèses : effort de traction variable proportionnalité entre l’effort et l’allongement Aire du triangle OAB Travail de l’effort de traction

- Équilibre d’un tronçon de longueur dx Soit l’allongement du tronçon dx Loi de HOOKE Énergie de déformation élémentaire soit

Effort normal : traction/compression Effort tranchant : Ty ou Tz II. Énergie de déformation D ’une manière générale Effort normal : traction/compression Effort tranchant : Ty ou Tz Moment de torsion : Mx Moment fléchissant : My ou Mz

effort normal + effort tranchant + moment fléchissant + moment de torsion

III.1. Théorème de Clapeyron III. Théorèmes énergétiques III.1. Théorème de Clapeyron Fi Cj Fi Cj Déplacements Ui Rotations qj Travail des forces extérieures

= III.2. Théorème de réciprocité de Maxwell - Betti a l S1 S2 ex ey A B a C l S1 S2 = Flèche dans la section S1 due à la charge P en S2 Flèche dans la section S2 due à la charge P en S1

III.3. Théorème de Castigliano Théorème : le déplacement du point d’application d’une force dans sa direction (ou la rotation d’un couple) est égale à la dérivée partielle de l’énergie de déformation par rapport à cette force (ou à ce couple) : Fi A B C

Structure hyperstatique d ’inconnues surabondantes Ri III.4. Théorème de Ménabréa Théorème : la dérivée partielle de l’énergie de déformation par rapport à chacune des inconnues surabondantes est nulle, à condition que les points d’application des forces ne bougent pas (Ui = 0) ou que les sections ne tournent pas (qi = 0) Structure hyperstatique d ’inconnues surabondantes Ri Wd = f(Ri)

III.5. Calcul du déplacement d ’un point non chargé B C G Q = 1 ex ey Poutre sur 2 appuis Flèche en G ? - charge fictive unitaire Q travaillant dans le déplacement Uy(G) - détermination de l’équation de la déformée Théorème de CASTIGLIANO

Pour une meilleure compréhension voir corrigés en pdf Quelques Compléments intéressants

  Moment Statique Sy = z dA Sz = y dA Le moment statique S d’une section par rapport à un axe est égal au produit de l ’aire de la section par la distance entre son centre de gravité G et l ’axe.  Sy = z dA Sz = y dA 

Centre de gravité Le centre de gravité G d ’une section est le point tel que le moment statique de la section par rapport à n ’importe quel axe passant par ce point est nul.

Centre de gravité Propriétés :Si la section possède un axe de symétrie, le centre de gravité G est situé sur cet axe. A défaut d ’axes de symétrie: - Choisir un axe de référence Oxy - Calculer le moment statique S de la section par rapport à cet axe - Calculer l ’aire totale de la section - Utiliser la propriété du moment statique Sy = Zg . A

Centre de gravité Exemple: Zg = (A1.d1 +A2.d2+A3.d3) / (A1+A2+A3) Zg = (Σ des Moments statiques) /(Σ des surfaces)

  Iz = y 2dA Iy = z 2dA MOMENTS D’INERTIE Les moments d’inertie Iz and Iy d’une aire sont y z dy Iz = y 2dA Iy = z 2dA   Etudions le cas d’un rectangle

Moment d ’inertie ou quadratique Moment quadratique de section connues: Rectangle Par rapport à un axe passant par G Iy = (b.h3)/12 Iz = (h.b3)/12 b h y z G

Moment d ’inertie ou quadratique Définition: Le moment d ’inertie d ’une surface infiniment petite par rapport à un axe éloigné de cette surface est égale au produit de son aire par le carré de la distance à l ’axe. Il est toujours positif et s ’exprime en mm4

Moment d ’inertie ou quadratique Moment quadratique de sections connues: Cercle Iy = Iz = (π.D4) /64 Couronne Iy = Iz = (π.(D4-d4))/64 y z y z

Moment d ’inertie ou quadratique Théorème de Huygens: Le moment d ’inertie d ’une section par rapport à un axe quelconque Δ est égal au moment d ’inertie de la section par rapport à l ’axe passant par son centre de gravité et parallèle à Δ augmenté du produit de l ’aire de la section par le carré de la distance entre les deux axes.

 JO = r 2dA JO = Ix + Iy Compléments y Moment d’inertie polaire dA r La distance depuis O jusqu’a l’élément d’aire dA et r. on sait que r 2 =x 2 + y 2 , on peut écrire la relation JO = Ix + Iy

Ix A Iy A JO A ix = iy = iO = Compléments Le rayon de gyration d’une surface A selon l’axe x est défini par kx, où Ix = ix ^2 . A. Similairement on peut trouver ky selon l’axe y 2 Ix A Iy A JO A ix = iy = iO =

c d o JO = JC + Ad 2 Compléments Ce théoreme peut etre utilisé pour le moment d’inertie polaire. c d o JO = JC + Ad 2 Le théoreme de l’axe parallele est utilisé trés efficacement pour calculer le moment d’inertie d’une aire composée selon un axe donné.

 Ixy = xy dA Ixy = Ix’y’ + xyA Compléments y Le produit d’inertie d’une aire A est défini comme y’ x’ Ixy = xy dA   x O Ixy = 0 si la surface A est symmetrique selon un ou plusieurs axes. Le théoreme de l’axe parallele pour le produit d’inertie est Ixy = Ix’y’ + xyA

Ix + Iy Ix - Iy 2 2 cos 2 Ix’ = + - Ixy sin 2 Ix + Iy Ix - Iy 2 2 Compléments y y’ Les relations entre les moments sont: x’  x O Ix + Iy 2 Ix - Iy 2 Ix’ = + - Ixy sin 2 cos 2 Ix + Iy 2 Ix - Iy 2 Iy’ = - + Ixy sin 2 cos 2 Ix - Iy 2 Ix’y’ = sin 2 + Ixy cos 2

Approche système: Méthode des fonctions de singularité

The M-file can be written as function beam(x) xx = linspace(0,x); n=length(xx); for i=1:n uy(i) = -5/6.*(sing(xx(i),0,4)-sing(xx(i),5,4)); uy(i) = uy(i) + 15/6.*sing(xx(i),8,3) + 75*sing(xx(i),7,2); uy(i) = uy(i) + 57/6.*xx(i)^3 - 238.25.*xx(i); end plot(xx,uy) function s = sing(xxx,a,n) if xxx > a s = (xxx - a).^n; else s=0; end This function can be run to create the plot, >> beam(10)

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