Le carré et le rectangle

Le carré et le rectangle Un rectangle dit à un carré: “Tiens, nous avons des diagonales égales”. Certes, répond le carré, mais j’ai une aire de 144 cm², tout le monde ne peut pas en dire autant ! Voyons cela, retorque le rectangle, en appliquant une de ses diagonales sur une diagonale du carré. Tout deux constatent alors que leur partie commune a l’aire de 96 cm². Quelle est l’aire du rectangle ?

Le carré et le rectangle ABCD est le carré. AB’CD’ est un rectangle. |AC| = |BD| (diagonales du carré) |AC| = |B’D’| (diagonales du rectangle)

Le carré et le rectangle Sachant que le carré ABCD a une aire de 144 cm², il est possible de déterminer la mesure des côtés de celui-ci. 144 cm² = |AB| . |BC| |AB| = |BC| = 12 cm

Le carré et le rectangle Intersection entre le carré et le rectangle = 96cm² Aire du carré – intersection entre le carré et le rectangle = Aire de ABX + Aire de CDY = 48cm²

Le carré et le rectangle On pouvons dire et confirmer que le triangle ABX et le triangle CDY sont des triangles isométriques car ils ont: |AB| = |CD| AB // CD BX // DY AX // CY

Le carré et le rectangle Dans le triangle ABX AB est perpendiculaire à BX D’où l’aire du triangle ABX = |AB| . |BX| 2 On sais aussi par le calcul d’aire des 2 triangles que ABX = 48cm² = 24cm² 2

Le carré et le rectangle |AB| . |BX| = 24cm² 2 12 . |BX| = 24 2 6 . |BX| = 24 |BX| = 4 cm Si |BX| = 4cm alors |XC| = 8cm Par pythagore cherchons |AX|: |AX|²= |AB|² + |BX|² |AX|² = 12² + 4² = 160 |AX| = √160 = 4 √10

Le carré et le rectangle Sachant que |AX| = 4√10cm et que l’aire de AXCY = 96cm² Il sera possible de déterminer la hauteur de ce parrallélogramme qui ne sera autre que |AD’| |AD’| = Aire de AXCY |AX| |AD’| = 96 = 24√10 4√10 10

Le carré et le rectangle Par Pythagore cherchons |D’Y|: |D’Y|² = |AY|² - |AD’|² |D’Y|² = 8² - ( 24√10 )² 10 |D’Y|² = 64 – 576 = 64 10 10 |D’Y| = 8 = 8√10 √10 10 L’aire de D’AY = 24√10 . 8√10 10 .10 L’aire de D’AY = 192 =19,2cm² 10

Le carré et le rectangle Sachant AB’CD’ est un rectangle, on sait que l’aire du triangle AYD’ = l’aire du triangle CXB’ L’aire de AYD’ + l’aire de CXB’ + l’aire de AXCY = 19,2 + 19,2 + 96 = 134,4 cm² = l’aire du rectangle