On procède comme on peut le voir sur le dessin ci-contre en effectuant 31/03/2017 On considère un segment [AB] de longueur 10 (l’unité est le centimètre) . On procède comme on peut le voir sur le dessin ci-contre en effectuant les constructions au-dessus du segment [AB]. A l’étape n = 1, on construit un triangle équilatéral dont un côté est [AB]. A l’étape n = 2, on partage le segment [AB] en deux segments de même longueur puis, sur chaque segment, on construit des triangles équilatéraux de côté la longueur des segments obtenus. On poursuit la construction de façon analogue, en partageant en deux chaque segment de [AB] obtenu à l’étape précédente et en construisant les triangles équilatéraux correspondants. 1) Déterminer le périmètre et l’aire des figures obtenues aux deux premières étapes. 2) Déterminer le périmètre et l’aire de la figure obtenue à chaque étape. Que constate-t-on lorsque l’on réalise un grand nombre d’étapes ? Exemple de scénario Après avoir répondu à la question a) , les élèves poursuivent l’algorithme de construction pour un nombre d’étapes égal à 3 ou 4 et calculent le périmètre et l’aire des figures obtenues. Pour conjecturer le résultat obtenu après un grand nombre d’étapes, on peut inviter les élèves à utiliser un tableur. On constatera que le périmètre de la figure réalisée est constant et que l’aire tend vers 0 lorsque le nombre d’étapes augmente. 1

Situation 2 : Suite de triangles isocèles On dispose des constructions ci-dessous obtenues par itérations après n étapes . Donner un algorithme de construction d’une telle figure. Déterminer l’aire et le périmètre du polygone pour n = 1 et n = 2. Que constate-t-on lorsque l’on réalise un grand nombre d’itérations ? Exemple de scénario A l’étape 1, on construit un triangle ABC isocèle en A tel que BC = 1 et tel que la hauteur issue de A ait pour longueur 1. A l’étape 2, on partage le segment [BC] en deux segments de mêmes longueurs puis on construit des triangles isocèles de base chacun des segments obtenus sur [BC] et de hauteur relative de longueur 1. On poursuit la construction en partageant en deux chacun des segments obtenus à l’étape précédente sur [BC] et en construisant les triangles isocèles de hauteur 1 correspondants. Les élèves calculent le périmètre et l’aire des figures obtenues pour n = 1 , n = 2 ; éventuellement, ils font la construction pour n = 3 et n = 4 avant de calculer les aires et périmètres correspondants. Pour conjecturer le résultat obtenu après un grand nombre d’étapes, on peut inviter les élèves à utiliser un tableur. On constatera que le périmètre de la figure réalisée devient aussi grand qu’on le veut pourvu que le nombre d’étapes soit suffisamment grand alors que l’aire est constante, égale à 0,5.

et l’aire des figures obtenues. Exemple de scénario Après avoir répondu à la question a) , les élèves poursuivent l’algorithme de construction pour un nombre d’étapes égal à 3 ou 4 et calculent le périmètre et l’aire des figures obtenues. Pour conjecturer le résultat obtenu après un grand nombre d’étapes, on peut inviter les élèves à utiliser un tableur. On constatera que le périmètre de la figure réalisée est constant et que l’aire tend vers 0 lorsque le nombre d’étapes augmente. Exemple de scénario A l’étape 1, on construit un triangle ABC isocèle en A tel que BC = 1 et tel que la hauteur issue de A ait pour longueur 1. A l’étape 2, on partage le segment [BC] en deux segments de mêmes longueurs puis on construit des triangles isocèles de base chacun des segments obtenus sur [BC] et de hauteur relative de longueur 1. On poursuit la construction en partageant en deux chacun des segments obtenus à l’étape précédente sur [BC] et en construisant les triangles isocèles de hauteur 1 correspondants. Les élèves calculent le périmètre et l’aire des figures obtenues pour n = 1 , n = 2 ; éventuellement, ils font la construction pour n = 3 et n = 4 avant de calculer les aires et périmètres correspondants. Pour conjecturer le résultat obtenu après un grand nombre d’étapes, on peut inviter les élèves à utiliser un tableur. On constatera que le périmètre de la figure réalisée devient aussi grand qu’on le veut pourvu que le nombre d’étapes soit suffisamment grand alors que l’aire est constante, égale à 0,5.