Apprendre à raisonner à l'école résolution de problèmes en géométrie © Photos12.com - Serge Sautereau Apprendre à raisonner à l'école résolution de problèmes en géométrie Thierry DIAS, HEP Vaud, Lausanne thierry.dias@hepl.ch http://perso.orange.fr/dias.thierry/

Apprendre à raisonner à l'école 1. Enseigner / apprendre en mathématiques 1.1 apprendre en mathématiques 1.2 la géométrie à l'école 2. Raisonner 2.1 raisonner en mathématiques 2.2 raisonnement et cognition 3. Apprendre à raisonner 3.1 démarche 3.2 situations 3.3 programmation

Les mathématiques sont d’abord une science qui nous apprend des choses sur le monde. Expérimenter le monde, c’est investir le réel de significations, de signes. Traiter ces signes, c’est faire des mathématiques.

raisonner en mathématiques : entrons dans le vif du sujet ! si alors réponse vers 11h45

1. enseigner / apprendre la géométrie apprendre en mathématiques la géométrie à l'école

1.1 apprendre en mathématiques construire une culture scientifique des attitudes des connaissances

apprendre en mathématiques construire une culture scientifique des connaissances des attitudes des capacités référence : socle commun 1.1 Apprendre en mathématiques

une culture scientifique à l'école construire des capacités savoirs faire construire des capacités des méthodes, des techniques une culture scientifique à l'école savoirs être savoirs développer des attitudes raisonnement, recherche pensée critique acquérir des connaissances des concepts, des objets, des relations 1.1 Apprendre en mathématiques

construire des connaissances à l’école primaire, on ne vise pas l'acquisition de connaissances formelles, mais principalement des connaissances fonctionnelles… … utiles pour résoudre des problèmes 1.1 Apprendre en mathématiques

construire des connaissances savoirs faire savoirs construire des connaissances Loubna veut creuser un bassin dans son jardin. Elle a fait quatre dessins différents parmi lesquels elle doit maintenant choisir celui qui a la plus petite aire. Quel est le bassin qui a la plus petite aire ? 1.1 Apprendre en mathématiques

1.2 la géométrie à l’école géo : la terre - metrikos : mesure instructions, programmes

Les activités du domaine géométrique : ne visent pas des connaissances formelles (définitions), mais des connaissances fonctionnelles, utiles pour résoudre des problèmes dans l'espace ordinaire, dans celui de la feuille de papier ou sur l'écran d'ordinateur. 1.2 La géométrie à l’école

Combien pouvez-vous trouver de triangles à l'intérieur de cette figure ? 1.2 La géométrie à l’école

espace spatio-géométrique comment faire ? monde réel outils perceptifs : la vue, le toucher espace spatio-géométrique outils d’aide : les instruments espace géométrique outil de validation : la théorie 1.2 La géométrie à l’école

2. raisonner… mathématiques et raisonnement raisonnement et cognition

2.1 raisonner… en mathématiques déduction induction expérimentation Le raisonnement n'est pas une spécialité mathématique.

le raisonnement : un processus 2.1 raisonner en mathématiques

résolution de problèmes Le raisonnement intervient dans de nombreuses activités mathématiques : compréhension et catégorisation planification, tri choix, prise de décision explication argumentation, preuve 2.1 raisonner en mathématiques

le combat entre induction et déduction est stérile règles ! observation ! http://fr.wikipedia.org/wiki/Claude_Bernard du particulier au général de l'exemple à la théorie http://www.math93.com/euclide.htm du général au particulier de la théorie à l'exemple 2.1 raisonner en mathématiques

investigation et/ou résolution de problèmes Le raisonnement par analogie : il s'agit d'appliquer une stratégie développée pour résoudre un problème, à un autre problème similaire. Le raisonnement par l'absurde : il s'agit de prouver la vérité ou la fausseté d'une proposition par la fausseté d'une conséquence, obtenant ainsi par déduction une contradiction, une «absurdité». Le raisonnement par récurrence r le principe de récurrence s'appuie sur les propriétés fondamentales de la suite des nombres. Si une proposition dépendant d'un nombre entier n est vraie pour n = 0 el si la vérité de cette proposition pour un entier k implique su vérité pour l'entier suivant k + 1, alors on peut en conclure qu'elle est vraie pourtour les entiers. Ce principe est très souvent utilisé pour construire des objets mathématiques de proche en proche. méthode recommandée : investigation et/ou résolution de problèmes 2.1 raisonner en mathématiques

prémisse conclusion théorie expérience générique spécifique En fait, trois principaux* types de raisonnements peuvent être utilisés en mathématiques à l'école : la déduction, l'induction, mais aussi le raisonnement expérimental (heuristique) Le raisonnement par analogie : il s'agit d'appliquer une stratégie développée pour résoudre un problème, à un autre problème similaire. Le raisonnement par l'absurde : il s'agit de prouver la vérité ou la fausseté d'une proposition par la fausseté d'une conséquence, obtenant ainsi par déduction une contradiction, une «absurdité». Le raisonnement par récurrence r le principe de récurrence s'appuie sur les propriétés fondamentales de la suite des nombres. Si une proposition dépendant d'un nombre entier n est vraie pour n = 0 el si la vérité de cette proposition pour un entier k implique su vérité pour l'entier suivant k + 1, alors on peut en conclure qu'elle est vraie pourtour les entiers. Ce principe est très souvent utilisé pour construire des objets mathématiques de proche en proche. * autres raisonnements : par analogie, par l'absurde, par contraposée, par récurrence, … 2.1 raisonner en mathématiques

Le raisonnement expérimental vers la découverte Le raisonnement expérimental démarche pratiquée dans une activité scientifique de recherche qui comprend plusieurs étapes : le recueil d'informations (objets, propriétés, relations), le questionnement, l'observation, l'élaboration d'hypothèses (conjectures en mathématiques), la mise en place d'investigations (essais, tentatives, expériences), la déduction de conséquences à partir de certaines hypothèses (si je décide cela, alors j'obtiens ceci), le rejet d'autres, la confrontation des prévisions avec les faits observés (validation, vérification, débat) 2.1 raisonner en mathématiques

En déplaçant toutes les pièces de ce puzzle, peut-on trouver une autre façon de les agencer dans un carré de même dimension ? 2.1 raisonner en mathématiques

2.2 raisonnement et cognition fonctions cognitives

deux* principaux types de raisonnement cognitifs : inférence analogie Le raisonnement inférentiel : utilisé face à un problème qui n'a encore jamais été rencontré et pour lequel il n'y pas de solution existante à appliquer en l'état. Le raisonnement analogique : réutilisation adaptée d'une solution déjà utilisée face à un problème présentant des spécificités communes avec celui à résoudre. Un troisième est appelé automatique mais il s'éloigne du processus de raisonnement à proprement parlé 2.2 raisonnement et cognition

fonctions instrumentales fonctions cognitives fonctions instrumentales mémoire attention langage la gnosie : vision et imagerie mentale la praxie : gestes volontaires fonctions exécutives (fonctions dites "de haut niveau") le raisonnement "Fonctions intellectuelles qui se divisent en quatre classes:1-les fonctions réceptives permettant l'acquisition, le traitement, la classification et l'intégration de l'information;2-la mémoire et l'apprentissage permettant le stockage et le rappel de l'information;3-la pensée ou le raisonnement concernant l'organisation et la réorganisation mentales de l'information;4-les fonctions expressives permettant la communication ou l'action . En fait, le cerveau fait appel simultanément à plusieurs fonctions selon les activités auxquelles nous participons. 2.2 raisonnement et cognition

fonctions cognitives Quelques apports du modèle des fonctions cognitives à l'enseignement. La démarche scientifique qui propose d'apprendre en résolvant des problèmes est adaptée au développement des capacités de raisonnement. Le raisonnement dépend de plusieurs fonctions cognitives dont certaines dites de "haut niveau" : elles sont très difficiles à évaluer (car non spécifiques). Les problèmes proposés aux élèves doivent être en mesure de développer les deux types de raisonnement (inférence et analogie) : ils doivent donc être diversifiés. "Fonctions intellectuelles qui se divisent en quatre classes:1-les fonctions réceptives permettant l'acquisition, le traitement, la classification et l'intégration de l'information;2-la mémoire et l'apprentissage permettant le stockage et le rappel de l'information;3-la pensée ou le raisonnement concernant l'organisation et la réorganisation mentales de l'information;4-les fonctions expressives permettant la communication ou l'action . 2.2 raisonnement et cognition

3. apprendre à raisonner… une démarche des situations et activités une progression

3.1 démarche : résoudre des problèmes agir, dire, prouver, retenir

INSTITUTIONALISATION agir dire ACTION RECHERCHE FORMULATION expériences sensibles et mentales manipulations mettre en mots décrire faire des hypothèses mise en COMMUN prouver retenir VALIDATION ENTRAINEMENT INSTITUTIONALISATION argumenter discuter prouver stabilisation du savoir définitions 3.1 Démarche : résoudre des problèmes

Trouver une propriété commune à ces 4 figures. 3.1 Démarche : résoudre des problèmes

Leur construction se fait à partir d'un carré. 3.1 Démarche : résoudre des problèmes

3.2 situations et activités varier les registres et les domaines

le plus court chemin en touchant le mur ? arrivée départ 3.2 Situations et activités

reproduire, compléter 3.2 Situations et activités

3.3 programmation référence aux fonctions cognitives : développer l'attention entraîner la mémorisation organiser les jeux de langage

pourquoi un programme en 3 temps : renforcer ses fonctions cognitives 1. attention gnosie faculté de reconnaître par l'un de ses sens (toucher, vue) la forme d'un objet, de se le représenter et d'en saisir la signification praxie capacité d'effectuer un geste ou une activité décidée et précise au service de 2. mémorisation faire des liens, comprendre les relations entre les objets = travail sur les propriétés 3. jeux de langage mettre en mots des connaissances : utiliser des figures pour raisonner 3.3 Programmation

observer attentivement reproduire précisément 1 1. attention observer attentivement reproduire précisément 3.3 Programmation

observer attentivement reproduire précisément 2 1. attention observer attentivement reproduire précisément 3.3 Programmation

observer attentivement reproduire précisément 1. attention observer attentivement reproduire précisément 20 secondes 20 secondes 3.3 Programmation

observer attentivement reproduire précisément 1. attention… et mémoire observer attentivement reproduire précisément 20 secondes 20 secondes 3.3 Programmation

reproduire précisément 1 2. jeux de mémoire observer rapidement reproduire précisément 20 secondes 3.3 Programmation

reproduire précisément 2 2. jeux de mémoire observer rapidement reproduire précisément 20 secondes ? aide ? 3.3 Programmation

observer les étapes d'un programme re-construire la figure 2 2. jeux de mémoire observer les étapes d'un programme re-construire la figure 3.3 Programmation

observer les étapes d'un programme re-construire la figure 3 2. jeux de mémoire observer les étapes d'un programme re-construire la figure 3.3 Programmation

3. jeux de langage Simon le dompteur fait marcher ses sept oiseaux bien en rang les uns derrières les autres. Range les animaux dans l’ordre en lisant attentivement les renseignements : 3.3 Programmation

1 3. jeux de langage 3.3 Programmation

2 3. jeux de langage 3.3 Programmation

3 3. jeux de langage 3.3 Programmation

merci de votre attention Continuez à faire pétiller les cerveaux à travers les mathématiques, à susciter les intelligences des êtres et des choses en donnant aux élèves le goût de savoir et d’apprendre. merci de votre attention

Thierry DIAS, HEP Lausanne thierry.dias@hepl.ch http://perso.orange.fr/dias.thierry http://www.latribudesmaths.magnard.fr