Démontrer qu’un triangle est rectangle (ou pas !) Rédiger la réciproque du théorème de Pythagore
On doit donc vérifier une égalité. Principe ABC est un triangle dont le plus grand côté est [BC] Si BC²=AB²+AC², alors le triangle ABC est rectangle en A. Si BC²≠AB²+AC², alors le triangle ABC est rectangle en A. On doit donc vérifier une égalité.
Exemple 1 ABC est un triangle. AB = 6 cm, BC = 8 cm et AC = 10 cm. Le triangle ABC est-il rectangle ?
Ce qu’on écrit sur sa copie Ce que l’on fait Ce qu’on écrit sur sa copie On nomme le triangle dans lequel on travaille en précisant le plus grand côté. Dans le triangle ABC, [AC] est le plus grand côté. On calcule le 1ier membre de l’égalité : le plus grand côté au carré. D’une part : AC2 = 102 = 100 On calcule le 2ième membre de l’égalité : la somme des carrés des deux autres côtés D’autre part : AB2 + BC2 = 62 + 82 = 36 + 64 =100 On constate l’égalité On a donc : AC2 = AB2 + BC2. D’après la réciproque de théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B On conclut en n’oubliant pas de préciser en quel point le triangle est rectangle.
Exemple 2 ABC est un triangle. AB = 8 cm, BC = 7 cm et AC = 5 cm. Le triangle ABC est-il rectangle ?
Ce qu’on écrit sur sa copie Ce que l’on fait Ce qu’on écrit sur sa copie On nomme le triangle dans lequel on travaille en précisant le plus grand côté. Dans le triangle ABC, [AB] est le plus grand côté. On calcule le 1ier membre de l’égalité : le plus grand côté au carré. D’une part : AB2 = 82 = 64 On calcule le 2ième membre de l’égalité : la somme des carrés des deux autres côtés D’autre part : AC2 + BC2 = 52 + 72 = 25 + 49 =74 On constate qu’il n’y a pas égalité On a donc : AB2 ≠ AC2 + BC2. D’après (la contraposée du) théorème de Pythagore, le triangle ABC n’est pas rectangle. On conclut. Ici, on utilise le théorème de Pythagore (plus précisément, sa contraposée).