Analyse Numérique Problèmes Pratiques Résolution d'équations différentielles

Introduction Ph. Leray Analyse Numérique

Principes généraux équation différentielle : idée générale : avec t  I = [t0,T] idée générale : discrétiser t tn = t0 + nh avec h = (T-t0)/n = pas de la méthode trouver une suite itérative zn qui approche yn = y(tn) Taylor : schéma d'Euler simple Ph. Leray Analyse Numérique

Schémas à un pas 1/ Forme générique : (tn,zn) calculé à partir de zn exemples : on peut partir de la propriété : calcul de l'intégrale I par : rectangle gauche I = hf(tn) schéma d'Euler simple rectangle droit I = hf(tn+1) schéma d'Euler rétrograde (zn+1 n'est plus donné directement, il faut résoudre le système) méthode implicite Ph. Leray Analyse Numérique

Schémas à un pas 2/ calcul de l'intégrale I par : trapèzes schéma d'Euler centré I = h[f(tn)+ hf(tn+1)]/2 comment éviter les méthodes implicites en gardant les avantages du schéma d'Euler centré ? on remplace le zn+1 "génant" du Euler centré par son estimation simple : schéma prédicteur/correcteur d'Euler-Cauchy méthode implicite Ph. Leray Analyse Numérique

Schémas à un pas 3/ les schémas de Runge-Kutta forme générique avec (t,z) défini par : un ordre q les équations suivantes : problème = trouver les meilleurs i ij i Ph. Leray Analyse Numérique

Schémas à un pas 4/ Runge-Kutta d'ordre 2 1=0 2=1 1= 11 =1/2 : schéma du point milieu 1=2=1/2 1= 11 =1 : schéma d'Euler-Cauchy Ph. Leray Analyse Numérique

Schémas à un pas 4/ Runge-Kutta d'ordre 4 il faut alors estimer f sur plusieurs valeurs intermédiaires (souvent coûteux) Ph. Leray Analyse Numérique

Schémas multi-pas 1/ les schémas d'Adams-Bashforth (tn,zn) calculé à partir de zn zn-1 ... On repart de la propriété : calcul de l'intégrale I en remplaçant f par une interpolation polynomiale d'ordre q (avec les points tn à tn-q) Lk = Polynômes de Lagrange Ph. Leray Analyse Numérique

Schémas multi-pas 2/ Adams-Bashforth à 2 pas pour n  1 problème : il faut calculer z1 autrement … (avec une méthode à 1 pas comme Runge-Kutta) Ph. Leray Analyse Numérique

Schémas multi-pas 3/ Adams-Bashforth à 3 pas Adams-Bashforth à 4 pas pour n  2 Adams-Bashforth à 4 pas pour n  3 Ph. Leray Analyse Numérique

Schémas multi-pas 4/ les schémas d'Adams-Moulton calcul de l'intégrale I en remplaçant f par une interpolation polynomiale d'ordre q+1 (avec les points tn+1 à tn-q) méthode implicite : zn+1 va dépendre de f(tn+1,zn+1) (à cause du k=-1) Ph. Leray Analyse Numérique

Schémas multi-pas 5/ Adams-Moulton à 1 pas Adams-Moulton à 2 pas … pour n  0 (Euler centré) Adams-Moulton à 2 pas pour n  1 … Ph. Leray Analyse Numérique

Schémas multi-pas 6/ Comment éviter le côté implicite de Adams-Moulton ? on remplace le zn+1 "génant" par son estimation par Adams-Bashford : Exemple : schéma prédicteur/correcteur d'ordre 4 Ph. Leray Analyse Numérique

Sujet de TD Ph. Leray Analyse Numérique

Conclusion Ph. Leray Analyse Numérique