Les fonctions TRIGONOMÉTRIQUES Mathématiques SN Les fonctions TRIGONOMÉTRIQUES Réalisé par : Sébastien Lachance
Mathématiques SN - Les fonctions TRIGONOMÉTRIQUES - Fonctions SINUSOÏDALES Fonction SINUS f(x) = sin x (forme générale de BASE) f(x) = a sin [ b ( x – h ) ] + k (forme générale TRANSFORMÉE) Fonction COSINUS f(x) = cos x (forme générale de BASE) f(x) = a cos [ b ( x – h ) ] + k (forme générale TRANSFORMÉE) Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction), l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet. a = - 2 Exemple : f(x) = - 2 sin [ 3 ( x – 1 ) ] + 4 b = 3 h = 1 a b h k k = 4
L’angle « x » n’est pas en DEGRÉ, il est en RADIAN ! Fonction SINUS f(x) = sin x (forme générale de BASE) L’angle « x » n’est pas en DEGRÉ, il est en RADIAN ! Attention avec votre calculatrice* ! *Appuyer sur « MODE » et « RADIAN » x f(x) 2 2 1 1 3 2 -1 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2 2 3 2 2 5 2 3 7 2 2 - 1 5 2 1 - 2 3 7 2 -1
L’angle « x » n’est pas en DEGRÉ, il est en RADIAN ! Fonction SINUS f(x) = sin x (forme générale de BASE) L’angle « x » n’est pas en DEGRÉ, il est en RADIAN ! Attention avec votre calculatrice* ! *Appuyer sur « MODE » et « RADIAN » x f(x) - 2 -1 2 - - 3 2 1 1 - 2 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2 2 3 2 2 5 2 3 7 2 - 5 2 -1 - 1 - 3 - 2 - 7 2 1
x f(x) 1 -1 2 1 - -1 Fonction COSINUS f(x) = cos x (forme générale de BASE) x f(x) 1 2 2 1 -1 3 2 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2 2 3 2 2 5 2 3 7 2 2 1 - 1 - 2 - 2 - -1 -3 2
f(x) = sin x f(x) = cos x f(x) = cos x 2 1 - 1 - 2 2 1 - 1 - 2 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2 2 3 2 2 5 2 3 7 2 - 1 - 2 f(x) = cos x 2 1 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2 2 3 2 2 5 2 3 7 2 - 1 - 2
cos x = sin ( x + / 2 ) OU sin x = cos ( x – / 2 ) f(x) = sin x f(x) = cos x 2 – / 2 1 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2 2 3 2 2 5 2 3 7 2 - 1 - 2 La fonction COSINUS est une fonction SINUS qui a subie une translation horizontale de / 2 vers la gauche. Cette translation est appelée DÉPHASAGE. Comme c’est le paramètre « h » qui représente la translation horizontale de la courbe, on peut donc écrire que : cos x = sin ( x + / 2 ) (car h = - / 2) OU sin x = cos ( x – / 2 ) (car h = / 2) La fonction COSINUS est donc une fonction SINUSOÏDALE.
f(x) = sin x 2 | b | Max – Min 2 P = A = A = | a | Période 1 A Cycle -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2 2 3 2 2 5 2 3 7 2 - 1 - 2 Les fonctions SINUSOÏDALES sont des fonctions CYCLIQUES. CYCLE : Plus petite portion de la courbe qui se répète. PÉRIODE : Longueur d’un CYCLE. 2 | b | P = AMPLITUDE : Variation de la hauteur de la fonction. Max – Min 2 A = A = | a |
f(x) = 2 sin ( x ) 2 3 2 | b | 2 P = P = = 2 x 3 2 = 3 2 3 Exemple : f(x) = 2 sin ( x ) 2 3 Période 2 1 A Cycle -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2 2 3 2 2 5 2 3 7 2 - 1 - 2 PÉRIODE = 3 2 | b | 2 P = P = = 2 x 3 2 = 3 2 3 AMPLITUDE = 2 Max – Min 2 2 – -2 2 A = A = = 2 A = | a | A = | 2 | A = 2
SINUS COSINUS SINUS COSINUS Représentation graphique Méthode du RECTANGLE : On forme un rectangle qui contient un cycle de la fonction. SINUS COSINUS (h, k + a) A A (h, k) (h, k) A A Période Période ATTENTION ! Le signe des paramètres a et b influence l’orientation du graphique ! Donc si a est négatif ou b est négatif, on obtient : SINUS COSINUS A A (h, k) (h, k) A A (h, k – a) Période Période
Tracer f(x) = 2 sin 2 ( x + ) + 2 Exemple #1 : Tracer f(x) = 2 sin 2 ( x + ) + 2 (h, k) = (- , 2) A = | a | = | 2 | = 2 2 | b | 2 | 2 | P = = = P 4 A 3 2 1 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2 2 3 2 2 5 2 3 7 2
Tracer f(x) = - 2 sin ( x – /2 ) + 1 Exemple #2 : Tracer f(x) = - 2 sin ( x – /2 ) + 1 (h, k) = (/2 , 1) A = | a | = | - 2 | = 2 2 | b | 2 | 1 | P = = = 2 4 P 3 2 A 1 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2 2 3 2 2 5 2 3 7 2
Exemple #3 : Déterminer l’équation de la fonction sinusoïdale ci-dessous sous la forme : A) f(x) = a sin b( x – h ) + k B) f(x) = a cos b( x – h ) + k (h, k) = (- , 3) A = | a | 5 = a 2 | b | 2 | b | P = 3 = 2 3 2 3 | b | = = 2 3 Réponse : f(x) = 5 sin ( x + ) + 3 P 8 6 A 4 2 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2 2 3 2 2 5 2 3 7 2
Exemple #3 : Déterminer l’équation de la fonction sinusoïdale ci-dessous sous la forme : A) f(x) = a sin b( x – h ) + k B) f(x) = a cos b( x – h ) + k (h, k) = (- , 3) (h, k) = (- /4 , 3) A = | a | 5 = a A = | a | 5 = a 2 | b | 2 | b | 2 | b | 2 | b | P = 3 = P = 3 = 2 3 2 3 2 3 2 3 | b | = = | b | = = 2 3 2 3 4 Réponse : f(x) = 5 sin ( x + ) + 3 Réponse : f(x) = 5 cos ( x + ) + 3 P 8 6 A 4 2 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2 2 3 2 2 5 2 3 7 2
Mathématiques SN - Les fonctions TRIGONOMÉTRIQUES - Fonction TANGENTE f(x) = tan x (forme générale de BASE) f(x) = a tan [ b ( x – h ) ] + k (forme générale TRANSFORMÉE) x = ( h + n) + Pn où n (Équation des ASYMPTOTES) P 2 Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction), l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet. a = - 2 Exemple : f(x) = - 2 tan [ 3 ( x – 1 ) ] + 4 b = 3 h = 1 a b h k k = 4
L’angle « x » n’est pas en DEGRÉ, il est en RADIAN ! f(x) = tan x (forme générale de BASE) L’angle « x » n’est pas en DEGRÉ, il est en RADIAN ! x f(x) Attention avec votre calculatrice* ! *Appuyer sur « MODE » et « RADIAN » 4 1 5 3 8 2,41 2 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2 2 3 2 2 5 2 3 7 2 - 4 - 5 -1 - 3 8 -2,41 - 2 16
Période f(x) = tan x 5 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2 2 3 2 2 5 2 3 7 2 - 5 La fonction TANGENTE est une fonction CYCLIQUE. PÉRIODE : Longueur d’un CYCLE. | b | P = Il n’y a pas d’AMPLITUDE associée à cette fonction (contrairement aux fonctions sinusoïdales.)
f(x) = tan x P 2 Les équations des asymptotes sont donc : Période Asymptote Asymptote f(x) = tan x P 2 P 2 x = h – x = h + 5 -P 2 P 2 (h, k) -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2 2 3 2 2 5 2 3 7 2 - 5 Les équations des asymptotes sont donc : x = ( h + n ) + Pn où n P 2
(h, k) = (- /2 , 3) | b | | 1/4 | P = = = 4 1 2 Exemple : 4 Représenter graphiquement f(x) = - 2 tan [ ( x + ) ] + 3 . 1 4 2 (h, k) = (- /2 , 3) | b | | 1/4 | P = = = 4 Période = 4 Période = 4 - 2 + 2 5 Période = 4 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - 2 3 4 5 6 7 - 5