Journée thématique du GDR IFS « Réduction de modèle en IFS » ENSAM – Jeudi 18 mai 2006 Validation de l’approche de la réduction a priori - POD sur l'équation de Burgers : potentialités et limites Verdon N. *, Hamdouni A. *,Ryckelynck D. **, Allery C. *, Beghein C. * * LEPTAB, Université de La Rochelle ** LMSP, ENSAM Paris

Plan de la présentation Problématique Pourquoi un modèle réduit ? Les limitations de la POD Une alternative : la méthode APR Présentation de la méthode APR Les différentes étapes de l’algorithme Le cas test : l’équation de Burgers 1D Présentation Résultats Système dynamique Conclusions et perspectives

Problématique Les méthodes actuelles de CFD demeurent encore très coûteuses en temps de calcul (DNS, LES) et limitent le champ d’action des applications industrielles Il faut donc un outil CFD peu coûteux et précis Idée : modèle d’ordre réduit => POD Avantages : Modes énergétiquement optimaux Très performant associée à un système dynamique Inconvénients : Phase d’échantillonnage longue et coûteuse Manque de flexibilité des paramètres de contrôle Alternative : Méthode APR (A Priori Reduction) Échantillonnage pas nécessaire Evolution dynamique de la base de l’écoulement Problématique

Présentation de la méthode La méthode APR est une méthode itérative combinant deux techniques largement utilisées en mécanique des fluides : La POD ou décomposition de Karhunen-Loève Les techniques de sous-espace de Krylov Les qualités requises pour l’algorithme sont : Rapidité de calcul Précision de la solution Obtention d’une base de l’écoulement Caractère a priori de la méthode La méthode doit pouvoir s’adapter rapidement aux variations de paramètres de contrôle (nombre de Reynolds, etc..) Présentation de la méthode

Initialisation de la base On considère le système non-linéaire suivant : de taille N Si l’on considère le système linéaire suivant : Présentation de la méthode On veut décomposer la vitesse sur une base Yi : Et que l’on définit le résidu par : Idée : on initialise la base avec un sous-espace de Krylov Le sous-espace de Krylov d’ordre m est défini de la façon suivante : Pour un système non-linéaire, ce sous-espace est construit à partir de la jacobienne J du système :

Projection des équations, résolution et reconstruction On a l’expression de la vitesse sur la base Yi (Krylov) : Présentation de la méthode où encore en notation matricielle : (Y de taille N x n) Le système d’équation est ensuite projeté : ou encore : de taille n << N nouvelles inconnues : coefficients temporels a(t) déterminés par Newton-Raphson par exemple La solution est alors reconstruite :

Présentation de la méthode Adaptation de la base Elle comprend deux étapes principales : Une phase d’amélioration de la base existante Collection des données temporelles Décomposition de Karhunen-Loève sur ces données Amélioration de la base Une phase d’expansion de la base améliorée Résidu calculé à chaque pas de temps Choix du résidu à conserver Calcul de vecteurs de base à rajouter (Krylov) Présentation de la méthode

Phase d’amélioration : formulation du problème Les coefficients temporels sont stockés à chaque pas de temps : Présentation de la méthode où M est le nombre de pas de temps On réalise une décomposition de Karhunen-Loève sur cet ensemble Le problème à résoudre s’écrit : Où C est la matrice de covariance n x n définie par :

Phase d’amélioration : sélection des modes propres On obtient alors n valeurs propres solutions du problème rangées dans l’ordre décroissant : Présentation de la méthode Sélection des h valeurs propres significatives On forme la matrice d’amélioration V dont les colonnes sont les h vecteurs propres conservés La base est enfin améliorée : (de taille N x h)

Phase d’expansion Les résidus sont calculés à chaque pas de temps : Présentation de la méthode Ne satisfait plus le critère de convergence Choix du résidu Résidu conservé = résidu du pas de temps Formation de l’espace de Krylov correspondant :

Formation de la nouvelle base La nouvelle base est alors formée de : La base améliorée La base obtenue par expansion avec sous-espace de Krylov Présentation de la méthode Nouvelle base pour l’itération suivante :

Algorithme global Problème initial discrétisé Initialisation de la base Présentation de la méthode Amélioration Mise à jour de la base Projection des équations solution du problème Expansion OK pas OK Résolution du système réduit et reconstruction de la solution complète Critère de convergence

Cas-test : Equation de Burgers 1D Rappel de l’équation : Conditions aux limites et conditions initiales Solution analytique avec Résultats

Résultats : solution de référence Résultat qualitatif correct

Calcul de l’erreur Méthode N L’erreur est calculée en norme L2 : Newton-Raphson A Priori Reduction 50 5.38e-3 5.43e-3 60 4.46e-3 4.51e-3 70 3.81e-3 3.86e-3 80 3.32e-3 3.37e-3 90 2.95e-3 3.0e-3 100 2.64e-3 2.69e-3 150 1.74e-3 1.79e-3 200 1.29e-3 1.34e-3 Méthode N L’erreur est calculée en norme L2 : Résultats

Comparaison des temps de calcul Résultats Temps de calcul jusqu’à 100 fois plus faible

Evolution avec la viscosité Résultats La méthode APR fournit la même solution que Newton-Raphson

Système dynamique Calcul très rapide Après calcul, on dispose d’une base Y de l’écoulement La vitesse est décomposée sur cette base de la façon suivante : Idée : on construit un système dynamique comme avec la base POD Cas de l’équation de Burgers 1D Équation récrite en utilisant la décomposition de la vitesse : Après projection sur la base Y, après orthogonalisation des modes : Les coefficients B et C sont calculés une fois pour toute, on a juste un système de n équations différentielles à résoudre (RK4, etc..) Résultats Calcul très rapide

Système dynamique : Résultats L’équation de Burgers est résolue par système dynamique sur 3 secondes à partir de la solution obtenue par la méthode APR sur 0.1 secondes Résultats e ≈ 2.5e-3 => précision du même ordre de grandeur que dans l’échantillonage

Conclusions et perspectives Travaux en cours L’algorithme est en train d’être implémenté sur le code Volumes Finis 2D CAFFA (Peric&Ferziger) L’exemple choisi est la cavité entraînée : Validations préalables : Re=400 Re=16000 u=0,v=0 u=U,v=0 U Conclusions et perspectives

=> on détermine les composantes u et v Travaux en cours Algorithme employé par CAFFA Équations de Navier-Stokes : U=(u,v) Initialisation des variables Linéarisation des équations Résolution du système algébrique (écrit en flux) => on détermine les composantes u et v Traitement de la pression : résolution de l’équation de Poisson : MODIFICATIONS APPORTEES PAR LA METHODE APR 1. Détermination d’une base de l’écoulement et résolution du système par la méthode APR Conclusions et perspectives 2. Projection de la pression

Conclusions et perspectives L’algorithme de réduction a priori possède de nombreuses qualités : Rapidité de calcul Précision du résultat peu altérée Fournit une base de l’écoulement Potentialités : Couplé à un système dynamique, il permet d’obtenir une solution précise sur des temps bien plus long que celui nécessaire pour construire la base Le gain de temps devrait être encore plus intéressant en 2D Limites : Le traitement du terme de pression va poser des problèmes Choix de la base de projection pour la pression important Un problème de stockage va intervenir lorsque l’on échantillonne les vecteurs solutions de l’équation réduite Conclusions et perspectives