Rappels sur la transformée de Fourier

Principe du développement en série de Fourier Fourier propose de développer n’importe quel signal périodique sous forme de fonctions sinusoïdales et cosinusoidales . A cet effet, il choisi la base de fonction orthonormale suivantes pour son développement: Le développement est donc sous forme d’une combinaison linéaire de ces fonctions. Le calcul des coefficients appelés coefficients de Fourier peut être effectué grâce au théorème de projection

Séries de Fourier définition

Séries de Fourier définition Composante continue Les autres harmoniques de fréquences multiples entiers de 1/T0 La fondamentale Les autres harmoniques de fréquences multiples entiers de 1/T0

Séries de Fourier autres décompositions

Séries de Fourier théorème de Parseval

Séries de Fourier résumé des propriétés(1/2)

Exemple exemple : g(t) = sin(2pi f t) + (1/3)sin(2pi (3f) t)

Exemple exemple : g(t) = sin(2pi f t) + (1/3)sin(2pi (3f) t) = +

Exemple example : g(t) = sin(2pi f t) + (1/3)sin(2pi (3f) t) = +

Exemple Usually, frequency is more interesting than the phase

Exemple = + =

Exemple = + =

Exemple = + =

Exemple = + =

Exemple = + =

Exemple =

Séries de Fourier décomposition spectrale Pour un signal x(t) réel et périodique de période T0 nous avons: Avec:

Séries de Fourier décomposition spectrale Si maintenant la fonction sera représentée dans un domaine appelé spectrale par: Domaine temporel Domaine Spectral

Séries de Fourier décomposition spectrale Spectre d’une composante continue 0=a0 a0 f

Séries de Fourier décomposition spectrale Spectre de an/2 an/2 f -n/T0 n/T0 Remarque: Le spectre d’un cosinus est réel et paire par rapport à la fréquence

Séries de Fourier décomposition spectrale Spectre de jbn/2 f -n/T0 n/T0 -jbn/2 Remarque: Le spectre d’un sinus est imaginaire pur et impaire par rapport à la fréquence

Séries de Fourier décomposition spectrale Pour un signal x(t) réel et périodique de période T0 nous avons: Le spectre sera formé par deux parties: Une partie réelle et paire par rapport à la fréquence contenant la composante continue Une partie imaginaire impaire par rapport à la fréquence

Séries de Fourier décomposition spectrale Le spectre de x(t) sera noté X(f) La partie Réelle du spectre notée XR(f) La partie Imaginaire du spectre notée XI(f)

Séries de Fourier décomposition spectrale XR(f) paire a0 a1 a1 a3 a3 …. …. f=n/To f a2 a2 XI(f) impaire -jb1 -jb2 …. …. f=n/To f jb1 jb2

Séries de Fourier décomposition spectrale Le spectre peut être représenté par une partie réelle et une partie imaginaire Ou bien Par un module et phase Domaine temporel Domaine Spectral

Séries de Fourier décomposition spectrale paire f=n/To impaire f=n/To

Exemples de décomposition spectrale

Conclusion D’après Fourier toute onde (ou fonction) périodique de période T (de fréquence f=1/T) peut être décomposé en une somme de : une composante continue (éventuellement) une fonction sinus et cosinus de fréquence 1/T égale à celle du signal appelée fondamentale une infinité de fonctions sinus et cnsinus de fréquences multiples entiers de la fréquence du signal, appelées les harmoniques. Le spectre de Fourier d’un signal x(t) réel et périodique de période T (de fréquence f=1T) est composé de deux parties à savoir une partie réelle paire et une partie imaginaire impaire ou bien un module paire et une phase impaire. Le spectre de Fourier d’un signal x(t) réel et périodique de période T (de fréquence f=1T) est toujours discret (composé de points ou de Dirac) séparés les uns des autres de 1/T (c-à-d la fréquence de x(t).

Et la puissance d ’un signal périodique ? Identité de Parseval Densité Spectrale de Puissance

Transformée de Fourier des signaux continus Regraduons en f

Représentation de la TF |X(w)| Module / Argument Parties réelle & imaginaire Arg(X(w))

! Quelques propriétés de Transformée de Fourier Linéarité X(f)  module |X(f)|, phase Arg[X(f)] x(t) réel  Re[X(f)] paire, Im[X(f)] impaire, module pair, phase impaire x(t) réel pair  X(f) réel pair x(t) réel impair  X(f) imaginaire impair x(t)*y(t)  X(f).Y(f) et x(t).y(t)  X(f)*Y(f) ! x(t)*d(t-t0)= x(t-t0)  X(f) exp(-2jp f t0) x(t) exp(2 j p t f0)  X(f-f0) x*(t)  X*(-f) x(at)  |a|-1 X(f/a) dnx(t)/dtn  (2 j p f )n X(f)

d(t)  1 Quelques signaux et leur Transformée de Fourier 1(t)  ½ d(f) + 1/(2 j p f ) cos(2pf0t)  [d(f-f0) +d(f+f0)]/2 sin(2pf0t)  [d(f-f0) -d(f+f0)]/2j Sd(t+nT)  Fe Sd(f+kFe) avec Fe=1/T Rect(t)  2a.Sinc(pfa)

représentation des signaux en temps 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -0.5 0.5 temps (sec) amplitude représentation des signaux en temps 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.2 0.4 0.6 0.8 fréquence (Hz) amplitude représentation des signaux en fréquence

représentation des signaux en temps 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -0.5 0.5 temps (sec) amplitude représentation des signaux en temps 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.2 0.4 0.6 0.8 fréquence (Hz) amplitude représentation des signaux en fréquence

représentation des signaux en temps 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -0.5 0.5 temps (sec) amplitude représentation des signaux en temps 0.2 0.4 0.6 0.8 1 fréquence (Hz) amplitude représentation des signaux en fréquence 5 10 15 20 25 30

représentation des signaux en temps 1 amplitude 0.5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 temps (msec) représentation des signaux en fréquence 1 0.8 amplitude 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 fréquence (MHz)

représentation des signaux en temps 2 amplitude 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 temps (msec) représentation des signaux en fréquence 10 Énergie (dB) -10 -20 -30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 fréquence (MHz)

DFT 50 100 -0.2 0.2 0.4 t (ms) [e] 1 2 3 4 5 10 20 30 40 PSD [e] f (kHz) (dB)

Et l ’énergie d ’un signal ? Identité de Parseval Densité Spectrale d ’Energie

Transformée de Fourier & Systèmes Un SLTI va être caractérisé par sa réponse impulsionnelle h(t) La transformée de Fourier de h(t) donne la réponse en fréquence du système H(f) x(t) h(t) y(t)=x(t)*h(t) TF TF TF X(f) H(f) Y(f)=X(f) . H(f) L ’inverse est aussi vrai

Bande passante et largeur de bande Caractérise un système Module de la rép. en fréquence Définie à -3dB (1/2) (Pm/2) Largeur de bande Caractérise un signal Densité Spectrale Espace des fréquences utiles !

Tranformée de Fourier des signaux échantillonnés Fréquence d ’échantillonnage Fe=1/Te La transformée de Fourier est discrète et donne un spectre périodique Le spectre est représenté de 0 à Fe ou de -Fe/2 à Fe/2 Rque : pour des signaux discrets, on pose Te=1=Fe, (et n=t) Transformée de |X(f)| x (t) e Fourier NTe t 1 f Te

Tranformée de Fourier des signaux échantillonnés périodiques Fréquence d ’échantillonnage Fe=1/Te, Période du signal NTe, Fréquence du signal F=1/NTe La transformée de Fourier est discrète et donne un spectre périodique et discret Le spectre est constitué de N raies, il est représenté de 0 à Fe ou de -Fe/2 à Fe/2 Rque : pour des signaux discrets, on pose Te=1, (et n=t) f 1 NTe 2NTe X e (f) Transformée de Fourier Te xe (t)

Du continu au discret, on échantillonne Échantillonnage idéal... ...Transformée de Fourier...  ... périodisation en fréquence. Échantillonnage temporel <=> Périodisation en fréquence Échantillonnage en fréquence <=> Périodisation temporelle

Tourne ... 1 T x(t) t f X(f) Transformée de Fourier (CCFT) t f X(f) Transformée de Fourier (CCFT) Echantillonnage en fréquence 2 2T X e (f) x (t) Transformée de Fourier (CDFT) Périodisation

et retourne ... x (t) NT t f X(f) Transformée de Fourier (DCFT) NT t f X(f) Transformée de Fourier (DCFT) Echantillonnage en fréquence 1 N T 2NT X (f) Te Transformée de Fourier (DDFT) Périodisation

Et le numérique ? L ’avant ? L ’après ? Te ? Un signal numérique est fini (N points), pour faire sa TF, on le périodise implicitement On rajoute éventuellement des 0 (Nz), pour avoir une TF sur (N+Nz) points.

Les différentes TF

Propriétés

CCFT connues

CCFT généralisées connues

DCFT connues

CDFT connues

DDFT connues