Les opérations sur les nombres Capsule 1 Les opérations sur les nombres

Les ensembles de nombres Les naturels (ℕ) Le premier de ces ensembles est celui des entiers naturels. On le représente en extension en énumérant les éléments qui le composent avec trois points de suspension pour indiquer que l’on peut continuer à l’infini. ℕ= 0,1,2,3,….10,11,…. C’est un ensemble infini, car on peut toujours trouver un autre nombre supérieur au dernier donné. Note historique Ce sont les premiers nombres que l’homme a utilisés. En effet, ils avaient besoin de dénombrer les journées, les poissons pêchés, les habitants de la tribu, etc.

Les ensembles de nombres L’ensemble suivant est celui des entiers relatifs. Il est composé des nombres entiers naturels auxquels on ajoute les nombres négatifs. ℤ= …, −10,…−2,−1, 0,1,2,3,…10, 11,… C’est un ensemble infini. Les entiers (ℤ) Si vous n’êtes pas parfaitement à l’aise avec les nombres négatifs, rassurez-vous; cela a pris plusieurs années avant que les mathématiciens les acceptent. Note historique Ces nombres apparurent pour la première fois en Inde, au douzième siècle. C’est seulement au seizième siècle que les Européens commencèrent à les utiliser. Le symbole Z vient du mot Zahl qui signifie «nombre» en allemand.

Les ensembles de nombres Les rationnels (ℚ) Le 3 𝑒 ensemble est celui des nombres rationnels. Ces nombres sont obtenus par la division de deux entiers. On les représente comme suit :  ℚ= 𝑎 𝑏 |𝑎, 𝑏 ∈ℤ, 𝑏≠0 C’est ce que nous appelons l’écriture fractionnaire. Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers, d’où son symbole Q. Pour ces nombres, il existe également une écriture décimale finie, ou infinie et périodique à partir d’un certain rang. Voici quelques nombres rationnels dont l’écriture décimale est finie… 1 8 =0,125 − 1 10 =−0,1 733 1000 =0,733 … et d’autres dont l’écriture décimale est infinie et périodique. 1 3 =0,333…=0, 3 − 5 11 =−0,454545…=−0, 45

Les ensembles de nombres Les irrationnels (ℚ′) Le 4 𝑒 ensemble est celui des nombres irrationnels. Ce sont des nombres qui ne peuvent pas s’exprimer comme des quotients d’entiers. Leur écriture décimale est infinie et non périodique.   On les retrouve sous diverses formes: 2 =01,4142… 𝜋=3,14159… Note historique Les nombres irrationnels ont été étudiés principalement par les pythagoriciens. Or, ceux-ci devaient en garder le secret. Une légende indique qu’Hippase fut noyé pour en avoir révélé l’existence. 𝑒=2,718…

Les ensembles de nombres Les réels (ℝ) Les quatre ensembles précédents sont regroupés en un ensemble de nombre que l’on appelle Réels (ℝ).   Rationnels Nombres qui s’écrivent comme la division de deux entiers. Irrationnels Nombres qui ne s’écrivent pas comme la division de deux entiers. ℝ ℚ ℚ′ ℤ −𝟓= −𝟓 𝟏 −𝟑𝟐= −𝟑𝟐 𝟏 Entiers ℕ 𝟎= 𝟎 𝟏 𝟖= 𝟖 𝟏 𝟓𝟕= 𝟓𝟕 𝟏 Naturels 𝟏 𝟑 =𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑… 𝟓 𝟏𝟏 =𝟎,𝟒𝟓𝟒𝟓… − 𝟏 𝟖 =−𝟎,𝟏𝟐𝟓 𝟑 𝟐 =𝟏,𝟓 𝟐 =𝟏,𝟒𝟏𝟒𝟐… 𝝅=𝟑,𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗… Note Il existe un ensemble de nombres appelés les nombres complexes qui englobent les réels et qui permettent l’existence de −1 . Nous n’étudierons pas cet ensemble de nombres dans le cadre du cours. 𝟐𝟓 =𝟓= 𝟓 𝟏 𝒆=𝟐,𝟕𝟏𝟖…

Les opérations sur les nombres Cinq opérations possibles: addition, soustraction, multiplication, division et élévation à une puissance. La priorité des opérations: Les parenthèses (en commençant par les parenthèses les plus à l’intérieur) Les exposants Les multiplications et divisions (priorité de gauche à droite) Les additions et les soustractions (priorité de gauche à droite) Bien que ces priorités vous paraissent banales et faciles à gérer à ce stade, elles sont essentielles en algèbre. Les maîtriser à ce stade vous permettront d’éviter de nombreuses erreurs dans les prochaines semaines.

parenthèses en débutant par la parenthèse intérieure Exemple 𝟐𝟑− 𝟕−𝟏 ∙𝟑+𝟕(𝟑 𝟐𝟏−𝟑 −𝟏𝟖∙𝟐)÷ 𝟑 𝟐 −𝟐 =23−6∙3+7 3∙18−18∙2 ÷ 3 2 −2 Simplification des parenthèses en débutant par la parenthèse intérieure =23−6∙3+7 54−36 ÷ 3 2 −2 =23−6∙3+7 18 ÷ 3 2 −2 =23−6∙3+7 18 ÷9−2 Exposant calculé =23−18+126÷9−2 Multiplication et division (de gauche à droite) =23−18+14−2 =17 Addition et soustraction (de gauche à droite)

Les opérations avec les nombres négatifs Encore une fois, ces règles sont essentielles pour l’algèbre! Maîtrisez-les! Les opérations avec les nombres négatifs Loi de l’addition Signes pareils Signes différents + =7 + = 3 + 4 =7 J’additionne mes nombres, réponse positive 3 + (−2) =1 Je soustrais mes nombres, réponse positive + =−7 + -3 + (-4) =−7 = J’additionne mes nombres, réponse négative 2 + (−3) =−1 Je soustrais mes nombres, réponse négative

Les opérations avec les nombres négatifs Loi de la soustraction La soustraction est l’opération inverse de l’addition, il suffit de transformer la soustraction par une addition. Soustraire revient à additionner l’opposé. On applique donc les règles de l’addition −6−3 devient −6+(−3) qui vaut −9 6− −3 devient 6+3 qui vaut 9 6−3 devient 6+(−3) qui vaut 3 −6−(−3) devient −6+3 qui vaut −3

Exercices 𝑎) −3+ −5 = −𝟖 𝑔) 2−3−4= −𝟓 𝑏) −3+5= 𝟐 ℎ) 2−3+4= 𝟑 𝑐) 3+(−5)= −𝟐 𝑖) 2− −3 +(−4)= 𝟏 𝑑) 3−(−5)= 𝟖 𝑗) −2+3−(−4)= 𝟓 𝑒) −3−5= −𝟖 𝑘) −(−2)−3−4−5= −𝟏𝟎 𝑓) −3−(−5)= 𝟐 𝑙) −2− −3 − −4 −5= 𝟎

Les opérations avec les nombres négatifs Loi de la multiplication 3×2=6 Le produit de deux nombres de même signe est positif (−3)×(−2)=6 3×(−2)=−6 Le produit d’un nombre négatif et d’un nombre positif est négatif (−3)×2=−6 Explication Une multiplication est une addition ou une soustraction répétée. Ainsi, 3 × 𝟐=𝟐+𝟐+𝟐=𝟔 3×(−𝟐)=−𝟐+−𝟐+−𝟐=−𝟔 J’additionne 3 fois le nombre 2 J’additionne 3 fois le nombre -2 (−3) × 𝟐=−𝟐−𝟐−𝟐=−𝟔 (−3)×(−𝟐)=−(−𝟐)−(−𝟐)−(−𝟐) Je soustrais 3 fois le nombre 2 Je soustrais 3 fois le nombre -2 𝟐 + 𝟐 +𝟐=𝟔

Les opérations avec les nombres négatifs Loi de la division Le quotient de deux nombres de même signe est positif 6÷3=2 (−6)÷(−3)=2 Le quotient d’un nombre négatif et d’un nombre positif est négatif (−6)÷3=−2 6÷(−3)=−2

Exercices 𝑎) 3× −4 = −𝟏𝟐 𝑔) 3× −2 ×4= −𝟐𝟒 𝑏) −3 × −4 = 𝟏𝟐 𝑏) −3 × −4 = 𝟏𝟐 ℎ) (−3)∙ −2 ∙4= 𝟐𝟒 𝑐) −3 ∙4= −𝟏𝟐 𝑖) (−3)× −2 ×(−4)= −𝟐𝟒 𝑑) 12÷(−4)= −𝟑 𝑗) 3× −2 ×(−4)= 𝟐𝟒 𝑒) (−12)÷4= −𝟑 𝑘) (−2)× −2 ×(−2)= −𝟖 𝑓) (−12)÷(−4)= 𝟑 𝑙) (−2)× −2 ×(−2)×(−2)= 𝟏𝟔