Fonctions affines

I Fonctions affines

1) Définition Une fonction affine est une fonction qui à un nombre x associe un nombre ax + b avec a et b donnés. 2)Remarques a) Pour calculer l'image d'un nombre x par la fonction affine x  ax +b, on multiplie x par a, puis on ajoute b. b) Cas particuliers où b = 0 la fonction x  ax est une fonction affine particulière : c'est une fonction linéaire. c) Cas particulier où a = 0. la fonction x  b est une fonction affine particulière: on dit que c'est une fonction constante.

x  3 x + 7 est une fonction affine avec a = et b = Exemples x  3 x + 7 est une fonction affine avec a = et b = x  x + 7 est une fonction affine avec a = et b = 1 2

II Représentation graphique d'une fonction affine

1) Propriété Dans le plan muni d'un repère (O, I, J ), la représentation graphique d'une fonction affine x  ax + b est une droite (d) passant par le point de coordonnées (0;b). a est appelé le coefficient directeur de la droite (d). b est appelé l'ordonnée à l'origine de la droite (d). Réciproquement, dans le repère (O, I, J), toute droite qui n'est pas parallèles à l'axe des ordonnées est la représentation graphique d'une fonction affine.

Tracer la représentation graphique de la fonction f: x  2x - 1 2) Exemple Tracer la représentation graphique de la fonction f: x  2x - 1 Réponse: La représentation graphique de la fonction affine f: x  2x - 1 est une droite. Il suffit donc d'avoir deux points pour construire la représentation graphique de la fonction f. On calcule donc l'image de deux valeurs de x. Pour x = 0 , f(0) = = Pour x = 2, f(2) = = On peut donc remplir le tableau suivant : x 2 f(x)

III Proportionnalité des accroissements.

1) Propriété Pour toute fonction affine f: x  ax + b, les accroissements de x et f(x) sont proportionnels. Le coefficient de proportionnalité est a. en d'autres termes, quels que soient les nombres x1 et x2: f(x2) – f(x1) = a (x2 – x1) 2) Remarque Le terme accroissement signifie augmentation ou diminution

3) Exemples a) g est la fonction affine x  -2x + 5 Si x augmente de 4, c'est à dire si x1 et x2 sont tels que x2 – x1 = 4 alors g(x) varie de -2 × 4, c'est-à-dire diminue de 8. En effet, d'après la propriété: g(x2) - g(x1) = -2(x2 – x1) = -2 × 4 = -8

Interprétation graphique: Lorsque x augmente de 4 , y diminue de 8.

4) Interprétation graphique du coefficient directeur. a) Propriété Animation

b) Exemples a) Tracer la représentation graphique de la fonction f:x  -2x + 3 La représentation graphique de la fonction f est une droite passant par le point de coordonnées (0;3). Lorsque x augmente de 1, y augmente de -2. Avec ces deux informations, on peut tracer la représentation graphique de la fonction f.

b) Déterminer graphiquement l'expression de la fonction f dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

La représentation graphique est une droite donc c'est la représentation graphique d'une fonction affine. Donc f(x) = ax + b. La droite passe par le point de coordonnées (0; ) donc b = Lorsque x augmente de 1, y augmente de donc a = On en déduit que f(x) =