La mécanique du solide 2 L’équilibre statique

Notion de liaisons dans les solides Les liaisons extérieures : la fixation de la pièce à son support définit dans un repère global : L’appui simple : blocage translation selon y réaction d’appui en y => Ry La rotule (pivot) : blocage translation selon x et y réaction d’appui en x et y => Ry et Rz L’encastrement : Blocage translation selon x et y et rotation autour de z réaction d’appui en x et y et autour de z => Rx Ry et Mrz y Ry x SYMBOLE Ry SYMBOLE Rx Mrz Ry SYMBOLE Rx

Notion de liaisons dans les solides Les liaisons intérieures : la fixation de la pièce à une autre pièce définit dans le repère local de la pièce : La rotule (pivot) : blocage selon l’axe vert. et horiz. effort de la pièce 1 sur 2 en x et en y => Fx et Fy (ou relâchement de la rotation en z) L’encastrement : blocage selon l’axe vert et horiz. + rotation autour de z effort de la pièce 1 sur 2 en x, en y et autour z => Fx Fy et Mz (ou aucun relâchement) y x Fy Fx SYMBOLE Mz Fy Fx SYMBOLE

Modélisation Modélisation finale d’une structure avec liaisons internes et externes : On représente les éléments barres par des traits (fibre neutre) Les liaisons extérieures par leur symboles Les liaisons intérieures par leur symboles

Modélisation Modélisation finale d’une structure avec liaisons internes et externes : On représente les éléments barres par des traits (fibre neutre) Les liaisons extérieures par leur symboles Les liaisons intérieures par leur symboles REPERE LOCAL axe x défini le long de la barre REPERE GLOBAL axe x horizontal

Modélisation Modélisation finale d’une structure avec chargement : Chaque type de chargement sera représenté par des vecteurs représentant des efforts de type : Ponctuels linéiques

L’équilibre statique L’étude de l’équilibre statique permet de connaître les efforts ou moments de réaction des appuis : Nous connaissons les efforts qui sont appliqués à l élément considéré : Ceux sont les chargements : Nous cherchons les réactions d’appuis Pour voir si l’assemblage prévu sur son socle est réalisable :

Degrés d’hyperstaticité Pour savoir si l’on peut trouver les réactions d’appuis aisément il faut d’abord trouver le degrés d’hyperstaticité de l’ensemble des éléments que l’on traite Une formule nous permet de connaitre ce degrés d’hyperstaticité : dh = (somme du nombre d’inconnues de liaisons internes et externes) – ( 3 x nb de barres ) Sachant que lorsque 3 barres se rejoignent en liaison rotule, 2 liaisons rotules sont nécessaire Sachant qu’une inconnue de liaison est l’effort ou le moment engendrée par celle ci Fy Ry Fx Ex Liaison interne : la rotule 2 inconnues de liaison Ex Liaison externe : l’appui simple 1 inconnue de liaison

Degrés d’hyperstaticité Selon le signe du dh nous pouvons directement en conclure que : dh<0 : le système est hypostatique : C’est un mécanisme le système ne peut être qu’en mouvement dh=0 : le système est isostatique : C’est le cas idéal pour un système : tous les efforts peuvent être anticipés Le système est facilement montable dh>0 : le système est hyperstatique : C’est un cas courant Les défauts de mise en place des éléments pourront engendrer des efforts parasites non anticipés La mise en place est plus délicate (tributaire des défauts de positionnement) Faire exercices p5

Degrés d’hyperstaticité-modélisation Représentez le modèle statique de ces portiques et calculer leur degré d’hyperstaticité

Principe fondamental de la statique Un système est dit « statique » lorsqu’il n’a aucun mouvement Les lois de la physique prouvent qu’un objet est statique lorsque : L’ensemble des efforts qui lui sont appliqués se compensent L’ensemble des moments qui lui sont appliqués se compensent C’est-à-dire que la résultante des actions extérieures et la résultante des actions de liaisons (réactions d’appuis) sont opposés et de même valeur En langage vectoriel pour un système en plan nous pouvons l’exprimer ainsi : Σ Fx = 0 somme des efforts dans la direction x = 0 Σ Fz = 0 somme des efforts dans la direction y = 0 Σ Mz en A = 0 somme des moments autour l’axe z = 0

Principe fondamental de la statique Explication du PFS grâce au principe d’action réaction : Exemple du poteau encastré : F = 5kN Effet de F sur le poteau en A (au niveau de l’appui) Effort et moment résultant : L=2m F = 5kN M(F) en A = - 10kN.m A C’est ce que l’on appelle les « descentes de charges » + y x

Principe fondamental de la statique Explication du PFS grâce au principe d’action réaction : Exemple du poteau encastré : F = 5kN Réaction d’appuis par réaction à l’effort et au moment résultant L=2m Rx = - 5kN A Mr en A = 10kN.m + y C’est ce que l’on appelle les « réactions d’appuis » x

Principe fondamental de la statique Explication du PFS grâce au principe d’action réaction : Exemple du poteau encastré : F = 5kN L’étude statique, grâce au principe fondamental de la statique PFS, nous permet de connaitre les efforts au niveau de la liaison avec le sol Si on prend du recul on imagine bien que lorsque l’on va pousser sur le poteau le support va à la fois forcer en rotation et forcer en translation sinon il bougera. L=2m Rx = - 5kN A Mr en A = 10kN.m + y x

Application du PFS De manière analytique : F = 5kN Pour appliquer le PFS analytiquement il faut : 1- Tracer le repère qui nous sert de base 2- Regarder quel sont les types de liaisons extérieures 3- Noter les blocages des liaisons : « Encastré » - 2 blocages en translation RAx et RAy - 1 blocage en rotation MrAz 4- Représenter ces blocages (efforts et moments) dans le sens positif du repère L=2m RAy = ? RAx = ? A MrAz = ? + y x

Application du PFS Σ Fx = 0 somme des efforts selon l’axe x = 0 De manière analytique : Pour appliquer le PFS il faut : 5 – Poser le système d’équation proposé par le PFS : Σ Fx = 0 somme des efforts selon l’axe x = 0 Σ Fz = 0 somme des efforts selon l’axe y = 0 Σ Mz en A = 0 somme des moments autour l’axe z = 0 F + RAx = 0 soit RAy = 0 - F x 1 + MrAz = 0 6 – Résoudre le système RAx = - F = - 5kN RAy = 0 MrAz = F x 1 = -10kN.m F = 5kN L=2m RAy = ? RAx = ? A MrAz = ? + y x

Application du PFS F = 5kN Nous obtenons bien le même résultat qu’avec le premier raisonnement Pour obtenir son équilibre, le support du poteau doit réagir grâce à : un effort résistant RAx et un moment résistant MrAz L=1m RAx = - 5kN A MrAz = 10kN.m + y x

Application du PFS Exercice 1 de résolution analytique F = 5kN L=5m + y x

Application du PFS Exercice 2 de résolution analytique F = 5kN C = 2kN L=5m L=3m + y x

Application du PFS Exercice 3 de résolution analytique F = 6kN 30° L=5m L1=2,5m y + x

Application du PFS Signifie : Exercice 4 de résolution analytique Cas d’une charge répartie : Signifie : 5kN pour un mètre de poutre F = 5kN/m L=5m + y x

Application du PFS P = 5kN Exercice 5 de résolution analytique Cas d’une charge répartie : P = 5kN F = 1,5kN/m L=6m L1=2m + y x