Les mathématiques sont d’abord une science qui nous apprend des choses sur le monde. Expérimenter dans le monde, c’est traduire le réel par des signes. Traiter ces signes, c’est faire des mathématiques.

Manipuler et expérimenter en mathématiques Perception / Action Question / Réflexion Thierry DIAS, HEP Lausanne thierry.dias@hepl.ch http://perso.orange.fr/dias.thierry/

Expérimenter en mathématiques ? http://www.michaelolaf.net/maria.html http://ecole.decroly.free.fr Expérimenter en mathématiques ? 1. POURQUOI

Instructions Officielles - France, janvier 1957 Un brin d'histoire : Instructions Officielles - France, janvier 1957 « N'est-il pas indispensable de faire bien saisir à l'enfant, puis à l'adolescent, les liens étroits qui unissent les mathématiques au monde sensible. N'est-ce pas là un moyen pour mettre en confiance le débutant, pour éviter qu'il ne se sente très vite rebuté par une étude où il pourrait ne voir qu'une sorte de jonglerie, souvent purement verbale et sans signification apparente. »

observation : perception/compréhension association : faire des liens expression : narrer, organiser Ovide Decroly L’enfant est un savant, un explorateur en herbe. Son apprentissage est essentiellement sensitif. « Aide-moi à faire tout seul. » Maria Montessori

L’apport des neurosciences 2012… L’apport des neurosciences Le développement cognitif s’appuie sur des intuitions et construit progressivement l’exactitude. Il existe des modulateurs très forts de l’apprentissage : l’action le plaisir l’attention la curiosité

Apprendre en mathématiques Construire une culture scientifique savoirs être savoirs des connaissances des attitudes des capacités savoirs faire

La culture de l’expérience nécessite des idées, des questions, des objets, des instruments, et des connaissances ! alors pourquoi pas en mathématiques ? observation manipulation question réflexion

Combien pouvez-vous trouver de triangles à l'intérieur de cette figure ? des idées ? des questions ? des objets ? des instruments ? et des connaissances !

Expérimenter, manipuler 2. COMMENT

Expérimenter et/ou manipuler ? une dialectique plus qu’une opposition action but faire activités manipuler: déplacer, manier, toucher, palper, actionner, utiliser expérimenter: contrôler, essayer, tester, vérifier, éprouver situations d’apprentissages raisonner

Expérimenter est un projet scientifique ambitieux. expliquer agir convaincre dire https://n2naxw.bay.livefilestore.com prouver Des compétences au service de situations complexes.

Un raisonnement de type expérimental Démarche qui comprend plusieurs étapes : l'observation de faits, le recueil d'informations, le questionnement, la mise en place d'investigations, l'élaboration d'hypothèses, la déduction de conséquences à partir des hypothèses, la confrontation des prévisions avec les faits observés et avec les expériences menées (vérification, validation).

Raisonnement expérimental Questionnement Déduction Formulation d'hypothèses Processus inductifs Mise en place d'investigations Des hypothèses à leurs conséquences D'une étape de l'investigation à l'autre Raisonnement expérimental Validation Observation Confrontation entre les résultats et les attendus Vérification des hypothèses Argumentation et preuve Faits et évènements Recueil d'informations Prélèvement des données

Raisonnement expérimental LES CARRÉS DE MAC MAHON Combien peut-on trouver de façons différentes de colorier complètement ce carré avec 3 couleurs différentes ? Attention, les carrés ne doivent pas être superposables !

INSTITUTIONNALISATION agir ACTION dire recherche expériences et manipulations FORMULATION mettre en mots décrire mise en commun prouver VALIDATION retenir argumenter prouver entraînement INSTITUTIONNALISATION stabilisation du savoir Une élaboration didactique possible

ça demande beaucoup de matériel ? Expérimenter, manipuler… Liste possible : matériel à manipuler : jetons, cartes, pions, cubes, buchettes, planche de bois + clous + élastiques, les jeux de la classe, Tangrams, matériel fabriqué sur demande des élèves… supports : calques, feuilles A4, A3, quadrillages, feuilles cartonnées, brouillon, calendrier, grands tableaux, schémas (ou ébauches de schémas), agrandissements outils : feutres, surligneurs, ciseaux, règles, crayons, colle instruments : instruments pour tracer, pour mesurer, calculatrices, tables de multiplication, ordinateur

Quelques situations mobilisant l’expérimentation en mathématiques manipulation observation échanges question réflexion

compétence/connaissance  situation  problème  tâche 1. faire une analyse didactique - compétences visées (lien avec les programmes) - variables d'adaptation et de différenciation (car tout le monde n'apprend pas à la même vitesse…) 2. Prévoir des dispositifs sociaux variés travail individuel binômes groupes 3. programmer les activités - nombre de séances - lien avec les autres apprentissages 4. prévoir le matériel nécessaire : la trousse du laboratoire de mathématiques…

Expérimenter dans l'espace et le plan

tétraminos, pavages et raisonnement Expérimenter dans le plan 5 tétraminos des grilles tétraminos, pavages et raisonnement

Combien existe-t-il de formes différentes de pentaminos ? 368 solutions pour couvrir complètement une grille de 4 x 15

Repérer, situer, décrire

En déplaçant toutes les pièces de ce puzzle, peut-on trouver une autre façon de les agencer dans un carré de même dimension ?

à vous de jouer ! Expérience géométrique Mémoire Attention Connaissances à vous de jouer !

Expérience géométrique Mémoire Attention Connaissances

Expériences courtes Mettre en mots ses connaissances Collaborer Échanger

Expériences courtes carré(s) ? rectangle(s) ? triangle(s) ? parallèle(s) ? perpendiculaire(s) ? … etc. (3;10) et (4;6)

Expérience géométrique à deux ! Chacun à son tour, on trace l’une des propositions. Le binôme qui finit en premier… … finit en premier !

des expériences pour apprendre à raisonner La mathématique du chat, Geluck des expériences pour apprendre à raisonner

Deux ronds sont jaunes. Il y a une forme verte en haut. Il y a un carré. Il y a une forme rouge en bas.

Apprendre à poser des problèmes.

Simon le dompteur fait marcher ses sept oiseaux bien en rang les uns derrières les autres. Range les animaux dans l’ordre en lisant attentivement les renseignements :

Apprendre à poser des problèmes. …

expérimenter sur (et avec) les nombres de l’activité/jeu à la résolution de problème nécessitant une phase expérimentale : faire beaucoup avec peu !

Placer les six nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 dans les cases pour que la somme des trois nombres soit égale à 10 sur chacun des côtés du triangle. 1 2 3 4 5 6

En ajoutant trois jetons à vos six précédents, pouvez-vous construire un carré magique ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a + b a – b - c a + c a – b + c a a + b - c a - c a + b + c a - b

FUBUKI facile… 2 4 7 17 3 13 5 1 9 15 6 8 8 19 18 utilise les jetons pour compléter les additions :

2 8 3 5 1 6 4 7 9 18 12 15 16 9 20 FUBUKI plus difficile… utilise les jetons pour compléter les additions :

5 5 Combien de fois doit-on écrire le chiffre 5 si on veut écrire tous les nombres de 1 à 999 ? 5

Et les programmes dans tout ça ? Rien de contradictoire, bien au contraire.

extraits des programmes 2008 « L’apprentissage des mathématiques développe l’imagination, la rigueur et la précision ainsi que le goût du raisonnement. » « La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. » À l’école maternelle, l’enfant découvre le monde proche ; il apprend à prendre et à utiliser des repères spatiaux et temporels. Il observe, il pose des questions et progresse dans la formulation de ses interrogations vers plus de rationalité. Il apprend à adopter un autre point de vue que le sien propre et sa confrontation avec la pensée logique lui donne le goût du raisonnement

3 atouts pour mieux apprendre CONCLUSION 3 atouts pour mieux apprendre

Des connaissances en actes 3 atouts pour mieux apprendre Favoriser l’action Des situations d'apprentissage avec : du matériel pour agir, des questions à expérimenter, des situations qui ont du sens. Des connaissances en actes

Des connaissances en mots 3 atouts pour mieux apprendre Verbaliser Reformuler De la place pour les activités langagières : mettre en mots, décrire, faire des hypothèses, confronter des idées anticiper les faits. Des connaissances en mots

Utilisation des connaissances 3 atouts pour mieux apprendre Stabiliser Mémoriser S'entraîner pour : "roder son moteur" (faire et refaire) travailler à son rythme, à son niveau de compétence se dépasser, défier Utilisation des connaissances

Postface… quelques maximes personnelles Tous les élèves ont un potentiel pour apprendre en mathématiques. Faire des mathématiques c'est aussi agir, discuter, penser. Enseigner les mathématiques par l’expérience c’est susciter la curiosité, cultiver le doute et exercer à la rigueur et la précision.

merci de votre attention http://perso.orange.fr/dias.thierry merci de votre attention thierry.dias@hepl.ch