Exposé de Mathématiques Réalisé Par : Bourdin Julien Conti Florian

Sujet : Al Kashi Qui Est-il ? Qu’a-t-il Trouvé ? Petits Exercices. Sources Internet.

Qui Est-il ? Al Kashi , de son véritable nom «Ghiyat al-dîn djamashîd b.mahs'ûd b.mahmûd al Kashi » est née à Kachan entre Isaphan et Téhéran. Il grandit dans la pauvreté durant une période de sa vie suite a des conquêtes militaires de sa région par l’émir Tîmur Lang (1370;1405). Après la mort de Tîmur , les conditions s’améliorèrent grandement, Al Kashi pouvait se consacrer aux mathématiques et à l’astronomie grâce au successeur de Tîmur « Shah Rohk » qui soutenait grandement les intérêts artistiques et intellectuels. Ce sera à la date du 2 Juin 1406, que sera l’une de ses premières observations notables marquée par une éclipse de lune. C’est à Samarkand qu’Al Kashi vivait sous la protection du prince Ulugh-Beg (1394;1409) qui était le fondateur d’une université comprenant une soixantaine de chercheurs étudiant la théologie et les sciences. C’est ici qu’Al Kashi deviendra le premier directeur de l’observatoire et c’est ici aussi qu’il s’adonnera pleinement à ses travaux. De nombreuses lettres, ainsi que certains ouvrages ont survécu. Nous reviendrons sur ces ouvrages dans la partie « Qu’a-t-il Trouvé ? ». On ne connaît que sa date approximative de mort : 1436 ou 1439. Al Kashi restera le dernier grand mathématicien arabe à entrer dans l’histoire avant que le monde occidental prenne le relais. Ulugh-Beg Tîmur Lang MENU

Qu’a-t-il trouvé ? Menu Suite Durant sa vie , Al Kashi a écrit de nombreux traités. C’est à travers ces différents traités qu’il nous démontra son ingéniosité, et qu’il aida grandement la science des mathématiques. Dans son traité d’astronomie Khaqan Zij: Il nous donne des tables trigonométriques proposant des valeurs à quatre chiffres de la fonction sinus ainsi que de nombreuses informations importantes sur ses trouvailles en astrologie. Dans son traité sur le cercle : Jemsid Al Kashi Trouve, d’après la méthode des périmètres (méthode d’Archimède), une valeur approchée de Pi, en base 60 (9 positions), soit l’équivalent de 16 décimales. (voir image). Dans son traité Miftha Al Hisab : C’est dans ce principal traité qu’il nous explique l’intérêt des nombres sexagésimaux (système de numérotation en base 60). Cet ouvrage sera essentiellement destiné aux chercheurs , étudiant l’astronomie,l’architecture, la comptabilité ou le commerce. Il nous démontre aussi le calcul n-ième de racine par algorithme, mais aussi nous propose des calculs de racine n-ième d’un nombre par une technique (technique d’Omar Khayyam) appelée aujourd’hui : « Triangle de Pascal ». On lui doit aussi son nom, généralisant le théorème de Pythagore (pour un triangle quelconque), on l’appellera « Théorème d’Al Kashi » ou Loi Des Cosinus pour les autres langues. (voir image). Nous reviendrons sur ce théorème plus en détails sur la page suivante. Dans son traité sur la corde et le sinus : Il nous présente le calcul de sin (1°) avec une grande précision, mais aussi une étude d’une équation du 3eme degré liée a la trisection de l’angle. (partager un angle en 3 parties égales). Menu Suite

Qu’a-t-il trouvé ? (suite) Explication du « Théorème d’Al Kashi »: Le théorème d’Al Kashi est un théorème de géométrie du triangle couramment utilisé en trigonométrie. Il utilise les bases du théorème de Pythagore mais pour les triangles non rectangles. Il relie le 3eme coté du triangle d’un triangle aux deux autres cotés ainsi qu’au cosinus de l’angle formé pas ces deux autres cotés. Exemple : Soit un Triangle DEF, ayant pour cotés respectifs aux angles k,u,y, les lettres A,B,C (voir figure) Donc D’après la Formule d’Al Kashi , cela nous donne : C²= A²+ B² - 2AB.Cosy D’où la formule générale exprimée sur la page précédente. Dans la pratique générale , ce théorème est donc utilisé en triangulation, pour trouver le troisième coté d’un triangle dont nous ne connaissons qu’un angle et ses cotés adjacents. Il existe aussi un corollaire de cette formule dans le cas d’une application de deux triangles semblables: CC ’ = AA ‘+BB ‘–( AB ‘+A‘B).Cosy Ce théorème dispose d’une multitude de formules générales qui s’appliquent dans différents cas. Ici je cite les 2 formules principalement utilisées. En effet, il existe sept types de formule qui s’appliquent dans six cas différents qui sont : - Par le théorème de Pythagore. - Par la puissance d’un point par rapport a un cercle. - Par le Calcul vectoriel. - Par géométrie Sphérique. - Par géométrie hyperbolique. - Par généralisation à l’espace euclidien. Menu

Exercices ABCD est un losange tel que AB=BC=CD=DA=1,l'unité de longueur étant le cm. On pose l'angle BAC = y. 1) Exprimer AC et BD en fonction de et vérifier que AC + BD = 22 cos(-pi/4) 2) Déterminer tel que AC+BD = 6 et faire une figure dans ce cas. Correction Soit ABC un triangle non aplati : 1) Démontrer l'égalité suivante : sin²a = Sin²(b) + Sin²(c) -2 Sin(b).Sin(c).Cos(a). 2) Montrer que ABC est un triangle rectangle en A si et seulement si sin²(a) = sin²(b) + sin²(c) Menu

Correction Des Exercices ! Exercice n°1 : 1) Soit O le point de rencontre de (AC) et (DB) Le triangle AOB est rectangle en O puisque les diagonales d'un losange se coupe à angle droit (et en leurs milieux). AC/2 = AO = AB.cos(alpha) AC/2 = 1*cos(alpha) AC = 2.cos(alpha) --- BD/2 = OB = AB.sin(alpha) BD = 2.sin(alpha) AC + BD = 2.cos(alpha) + 2.sin(alpha) AC + BD = 2(cos(alpha) + sin(alpha)) AC + BD = 2.V2.cos(alpha - (Pi/4)) (Avec V pour racine carrée) ----- 2) AC + BD = V6 V6 = 2.V2.cos(alpha - (Pi/4)) cos(alpha - (Pi/4)) = (V3)/2 alpha - (Pi/4) = +/- Pi/6 + 2kPi alpha = (Pi/4) +/- (Pi/6) + 2kPi alpha = Pi/12 ou alpha = 5Pi/12 Retour pages D’exercices Menu Suite Exercice 2

Corrections des Exercices ! Exercice n°2 : 1) sin²a = Sin²(b) + Sin²(c) - 2 sin(b).sin(c).cos(a) ? a+b+c = Pi (la somme des angles d'un triangle = 180°) a = Pi-(b+c) Sin²(Pi-(b+c)) =? Sin²(b) + Sin²(c) - 2 Sin(b).Sin(c).Cos(Pi-(b+c)) Sin²(b+c) =? Sin²(b) + Sin²(c) + 2 Sin(b).Sin(c).Cos(b+c) (Sin(b).Cos(c)+Cos(b).Sin(c))² =? Sin²(b) + Sin²(c) + 2 Sin(b).Sin(c).(Cos(b).Cos(c)-Sin(b).Sin(c)) Sin²(b).Cos²(c)+Cos²(b).Sin²(c) + 2Sin(b).Cos(b).Sin(c).Cos(c) =? Sin²(b) + Sin²(c) + 2 Sin(b).Sin(c).Cos(b).Cos(c) - 2.Sin²(b).Sin²(c) Sin²(b).Cos²c + Cos²(b).Sin²(c) =? Sin²(b) + Sin²(c) - 2.Sin²(b).Sin²(c) Sin²(b).Cos²c + 2.Sin²(b).Sin²(c) + Cos²(b).Sin²(c) =? Sin²(b) + Sin²(c) Sin²(b).Cos²c + Sin²(b).Sin²(c) + Sin²(b).Sin²(c) + Cos²(b).Sin²(c) =? Sin²(b) + Sin²(c) Sin²(b).(Cos²c + Sin²(c)) + Sin²(c)(Sin²(b) + Sin²(c)) =? Sin²(b) + Sin²(c) Sin²(b) + Sin²(c) =? Sin²(b) + Sin²(c) Qui est une identité. Donc en partant de Sin²a = Sin²(b) + Sin²(c) - 2 Sin(b).Sin(c).Cos(a), on aboutit a une identité --> On a bien Sin²a = Sin²(b) + Sin²(c) - 2 Sin(b).Sin(c).Cos(a) dans un triangle. 2) On a sin²a = Sin²(b) + Sin²(c) - 2 Sin(b).Sin(c).Cos(a) Si a = 90°, Cos(a) = 0 sin²a = Sin²(b) + Sin²(c) Donc l'expression Sin²a = Sin²(b) + Sin²(c) est vrai si le triangle est rectangle en A. (1) Reste à démontrer la réciproque. Si on a: Sin²a = Sin²(b) + Sin²(c) Comme on a aussi dans tout triangle: Sin²a =? Sin²(b) + Sin²(c) - 2 Sin(b).Sin(c).Cos(a) Sin²(b) + Sin²(c) = Sin²(b) + Sin²(c) - 2 Sin(b).Sin(c).Cos(a) Sin(b).Sin(c).Cos(a) = 0 Comme le triangle n'est pas plat, b et c sont différents de 0 et donc Sin(b).Sin(c) est différent de 0 cela implique que Cos(a) = 0, soit a = 90° donc si on a Sin²a = Sin²(b) + Sin²(c), le triangle est rectangle en A. (2) (1) et (2) --> ABC est un triangle rectangle en A si et seulement si Sin²a = Sin²(b) + Sin²(c) Menu

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