Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds I) Notions de viscosité 1) Rappels

Actions de contact : Cas de la dynamique dFn dS Particule de fluide Fluide ambiant n dF = dFn + dFt dFt dF

Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds I) Notions de viscosité 1) Rappels 2) Force de viscosité dans les fluides newtoniens a) Relation de Newton

v(M,t) = vx(y,t).ux O x y (R) vx(y,t)  z  Localement, les particules de fluide tournent autour d’un axe porté par Oz

Relation de Newton O x y vx(y + dy,t) y + dy vx(y,t) gradvx dS

Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds I) Notions de viscosité 1) Rappels 2) Force de viscosité dans les fluides newtoniens a) Relation de Newton b) Notion de viscosité

Ordres de grandeur : air  1,8.10–5 Pl ; eau  10–3 Pl ; huile  1 Pl ; graisse  103 Pl à température ambiante ; verre  10 Pl à 1400°C ; verre  1013 Pl à 500°C ;

Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds I) Notions de viscosité 3) Transport de quantité de mouvement par diffusion a) Force volumique de viscosité

Force volumique de viscosité x y dF(y + dy/2) y + dy/2 vx(y) dS y – dy/2 dF(y – dy/2)

Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds I) Notions de viscosité 3) Transport de quantité de mouvement par diffusion a) Force volumique de viscosité b) L’équation de Navier – Stokes

L’équation de Navier – Stokes En M, à la date t, dans le référentiel R galiléen :

Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds I) Notions de viscosité 3) Transport de quantité de mouvement par diffusion a) Force volumique de viscosité b) L’équation de Navier – Stokes c) Diffusion de quantité de mouvement

L’équation de Navier – Stokes En M, à la date t, dans le référentiel R galiléen :

Diffusion de particules Diffusion thermique Mode de diffusion Diffusion de particules Diffusion thermique Diffusion de quantité de mouvement volumique Equation de diffusion n* : densité de particules T : température .v : densité volumique de quantité de mouvement Coefficient de diffusion (m2.s–1) D : diffusivité Dth : diffusivité thermique  : viscosité cinématique

Ordres de grandeur : air  1,8.10–5 Pl ; air  1,3 kg.m–3 ; air  1,4.10–5 m2.s–1 ; eau  10–3 Pl ; eau  1,0.103 kg.m–3 ; eau  1,0.10–6 m2.s–1 ;

Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds II) Nombre de Reynolds d’un écoulement 1) Les différents transports de quantité de mouvement

Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds II) Nombre de Reynolds d’un écoulement 1) Les différents transports de quantité de mouvement a) Transport par convection

Transport par convection Le transport par convection est un transport de quantité de mouvement volumique parallèlement à la direction de l’écoulement

Transfert convectif dpc de quantité de mouvement Transport par convection v.dt dm dS v Transfert convectif dpc de quantité de mouvement

Transport par convection On définit le débit convectif de quantité de mouvement par unité de surface par :

Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds II) Nombre de Reynolds d’un écoulement 1) Les différents transports de quantité de mouvement a) Transport par convection b) Transport par diffusion

Transport par diffusion Le transport par diffusion est un transport de quantité de mouvement volumique perpendiculairement à la direction de l’écoulement

Transport par diffusion x y y + dy vx(y + dy) vx(y) gradvx(y) Transfert diffusif dpd de quantité de mouvement dS

Transport par diffusion On définit le débit diffusif de quantité de mouvement par unité de surface par :

Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds II) Nombre de Reynolds d’un écoulement 2) Le nombre de Reynolds a) Définition

Définition : On appelle nombre de Reynolds Re, le rapport positif sans dimension :

Description Nombre de Reynolds Évolution du manteau terrestre 10–20 Glacier 10–11 Bactéries dans l’eau 10–5 Spermatozoïdes dans le liquide séminal 10–3 Bille qui tombe dans du miel 10–2 Poisson d’aquarium 102 Nageur dans l’eau 105 Serpent dans l’eau 106 Oiseau Gros poisson dans l’eau 108

Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds II) Nombre de Reynolds d’un écoulement 2) Le nombre de Reynolds a) Définition b) Autre définition du nombre de Reynolds

L’équation de Navier – Stokes En M, à la date t, dans le référentiel R galiléen :

Autres définitions du nombre de Reynolds

Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds II) Nombre de Reynolds d’un écoulement 2) Le nombre de Reynolds a) Définition b) Autre définition du nombre de Reynolds c) Interprétation du nombre de Reynolds

Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds II) Nombre de Reynolds d’un écoulement 3) La classification des écoulements a) Les écoulements laminaires et turbulents

Re < 1 L’écoulement est laminaire rampant

Re = 10 Re = 13 Re = 26 L’écoulement est laminaire

Re  2.103 L’écoulement est turbulent Re  105

Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds II) Nombre de Reynolds d’un écoulement 3) La classification des écoulements a) Les écoulements laminaires et turbulents b) Réflexion sur l’écoulement parfait

Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds III) Écoulement d’un fluide autour d’un obstacle 1) Le paradoxe de d’Alembert

Fluide en mouvement O v, P v0 P0

Le fluide parfait Un fluide ne peut être considéré comme parfait qu’en dehors de la couche limite et du sillage

Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds III) Écoulement d’un fluide autour d’un obstacle 1) Le paradoxe de d’Alembert 2) Écoulement autour d’un obstacle

Définition : L’écoulement parfait est un modèle d’écoulement à fort nombre de Reynolds en dehors de la couche limite et du sillage

Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds III) Écoulement d’un fluide autour d’un obstacle 1) Le paradoxe de d’Alembert 2) Écoulement autour d’un obstacle 3) Description d’un écoulement autour d’une sphère

Pour les valeurs de Re inférieures à 1, l'écoulement est laminaire et approximativement linéaire. Les lignes de courant ont l'allure représentée ci – contre. Cx est inversement proportionnel à Re. Pour des valeurs de Re supérieures à 1 (de l'ordre de Re  20), il apparaît un tourbillon torique stable derrière la sphère. Les dimensions de ce tourbillon augmentent avec le nombre de Reynolds.

Ce tourbillon finit par occuper toute la partie arrière de la sphère, pour des nombres de Reynolds de l'ordre de 300 à 450. À partir de Re voisin de 450, le tourbillon se détache, en prenant une forme hélicoïdale. Ce tourbillon a pour conséquence l'existence d'une force transversale «tournante» s'exerçant sur la sphère

Pour Re  1000, l'écoulement n'est plus régulier : il se forme un sillage, zone turbulente et chaotique derrière la sphère. Le point de décrochement de la couche limite est situé en « avant » de la sphère.

Si Re devient très grand, (Re > 5 Si Re devient très grand, (Re > 5.105), le sillage diminue d'importance. Les tourbillons évoluent de façon chaotique. Il n'est plus possible de décrire simplement l'écoulement qui devient turbulent. Alors que précédemment la couche limite était laminaire, elle devient turbulente : elle se décroche vers l’arrière

Application à la balle de golf : Dans les mêmes conditions de lancement, une balle de golf (bosselée) va plus loin qu’une balle lisse. Autour de la balle de golf, il existe une couche limite turbulente tandis qu’autour de la balle lisse la couche limite est laminaire. Le Cx de la balle de golf est moins élevé que celui de la balle lisse pour le même nombre de Reynolds.

Description Nombre de Reynolds Évolution du manteau terrestre 10–20 Glacier 10–11 Bactéries dans l’eau 10–5 Spermatozoïdes dans le liquide séminal 10–3 Bille qui tombe dans du miel 10–2 Poisson d’aquarium 102 Nageur dans l’eau 105 Serpent dans l’eau 106 Oiseau Gros poisson dans l’eau 108

Notion de viscosité ; Nombre de Reynolds III) Écoulement d’un fluide autour d’un obstacle 1) Le paradoxe de d’Alembert 2) Écoulement autour d’un obstacle 3) Description d’un écoulement autour d’une sphère 4) Évolution de la force de traînée

Evolution du coefficient de traînée Cx(Re) d'une sphère lisse