Chapitre 2 : La fonction de transfert

2.1 Rappels sur la Transformée de Laplace

Définition La transformée de Laplace F(p) = L (f(t)) est la fonction de la variable complexe p définie par : Opérateur de Laplace : p : littérature francophone s : littérature anglophone Convention d ’écriture : fonc. temporelle = minusc. fonc. de L. = majusc.

Principaux théorèmes - linéarité Changement d ’échelle : Superposition : par contre :

Principaux théorèmes - translations Translation (théorème du retard) : Translation dans le domaine complexe : f(t) f(t-t) t

Principaux théorèmes - équa. diff. Dérivation : Intégration:

Principaux théorèmes - extrema Valeur initiale : Valeur finale:

2.2 Fonction de transfert

Equation différentielle de départ Système e(t) y(t) Soit un système décrit par une équation différentielle :

Utilisation de la Transf. de Laplace On suppose les cond. init. nulles ; l ’application de la TL conduit à : d ’où la fonction de transfert (FT) :

Un paradoxe apparent H(p) e(t) y(t) Cette égalité pourrait être considérée comme un paradoxe, en effet : son premier membre est le rapport des transformées de Laplace des signaux d ’entrée-sortie son deuxième membre est une fraction rationnelle ne dépendant pas des signaux

La fonction de transfert La fonction de transfert caractérise le système et lui seul Généralisation du concept d'impédance complexe z(jw) d’un circuit L'ordre du système est le degré du dénominateur de la fonction de transfert Attention à respecter le principe de causalité :

Le gain d ’une fonction de transfert Dans H(p), on peut factoriser a0 et b0 : K représente le gain statique G(p) représente le régime transitoire

Exemple : circuit RL Equation différentielle : Transfor. de Laplace : u(t) i(t) Exemple : circuit RL Equation différentielle : Transfor. de Laplace : Fonction de transfert : Ordre du système : Gain :

2.3 Caractéristiques statique et dynamique

Les conditions initiales Très souvent : les conditions initiales ne sont pas nulles le système évolue autour d ’un point de fonctionnement qui correspond à ces conditions initiales Système e(t) = e0 + de(t) y(t) = y0 + dy(t) Point de fonctionnement Variations autour du point de fonctionnement

Caractéristique statique Le point de fonctionnement est déterminé par une caractéristique statique qui n ’a aucun rapport avec la fonction de transfert estatique ystatique Caractéristique statique e0 Point de fonctionnement y0

Caractéristique dynamique le modèle utilisé pour représenter le système n ’est valable qu ’autour du point de fonctionnement ; la FT relie les variations de sortie à celles d ’entrée H(p) de(t) dy(t) y e Caractéristique statique Point de fonctionnement Zone de validité du modèle dynamique (FT)

Exemple : moteur à courant continu Point de fonctionnement : u0 = 100 V ; n0 = 735 tr/mn Fonction de transfert : Moteur CC u(t) = u0 + du(t) n(t) = n0 + dn(t) Tension d ’induit Vitesse de l ’arbre

Convention d ’écriture Sauf dispositions particulières, toutes les variables manipulées correspondent à des variations autour d ’un point de fonctionnement Aussi, pour simplifier l ’écriture, les « d » seront omis :

2.4 Signaux d ’entrée

Signaux d ’entrée Pour définir les caractéristiques (le modèle) d ’un système, on étudie sa réponse à des signaux d ’entrée particuliers Approche temporelle entrée = échelon, rampe ou impulsion Approche fréquentielle entrée = sinusoïde à fréquence variable

Approche temporelle Echelon Rampe caractérise le gain et le régime transitoire du système utilisé comme entrée de test d ’une régulation Rampe détermine l ’erreur de traînage d ’un asservissement t e(t) A t e(t) At

Approche temporelle Impulsion mathématiquement, impulsion de Dirac : physiquement : t e(t) t e(t) Aire impulsion = 1

Approche fréquentielle Sinusoïde on fait varier la fréquence de la sinusoïde d ’entrée de « 0 » (basse fréquence) à « l ’infini » (haute fréquence) permet de construire le diagramme de Bode

2.5 Schémas fonctionnels

Association série et parallèle H1(p) e(t) y(t) H2(p) H1(p) H2(p) H1(p) + H2(p) e(t) y(t) H1(p) H2(p) +

Factorisation H(p) + e1(t) e2(t) s(t) + e1(t) e2(t) s(t) H(p)

Principe de superposition Quand un système a plusieurs entrées (commande et perturbations) pour calculer la FT entre une entrée particulière et la sortie, on suppose que les autres entrées sont nulles Ex : H1(p) + H2(p) e1(t) e2(t) s(t) H3(p)

Système à retour unitaire Cas d ’une régulation où K G(p) représente l ’ensemble {correcteur + actionneur + procédé + capteur} : e(t) y(t) KG(p) - + Consigne Mesure e

Système à retour non unitaire Cas précédent avec un correcteur en plus dans la boucle de retour : e(t) y(t) KG(p) - + Consigne Mesure e F(p)

2.6 Détermination de la réponse d ’un système

Principe Pour évaluer le comportement d ’un système, il faut pouvoir déterminer sa réponse temporelle à une entrée particulière Méthode : Détermination de la FT H(p) du système Détermination de l’entrée e(t) et de sa TL E(p) Calcul de Y(p) = H(p) E(p) Recherche de l ’original de Y(p) : y(t) = L-1(Y(p))

Quelques originaux

Exemple : circuit RL Fonction de transfert : Entrée : Sortie : u(t) i(t) ? t A Exemple : circuit RL Fonction de transfert : Entrée : Sortie : Original de la sortie :

Fin du chapitre 2