Trouver la méridienne par 3 points d'ombre Voyage rétrospectif de 2000 ans explorant différentes méthodes géométriques pour trouver la méridienne par 3 points dombre. Le principe consiste à relever les 3 points d'ombre pendant une même journée, à l'aide dun faux style ou dun gnomon, sur une surface plane horizontale : * les heures des relevés ne sont pas connues, * la latitude est inconnue, * la déclinaison du Soleil est inconnue, * la variation de la déclinaison du Soleil et la réfraction atmosphérique sont négligées. Par extension le problème revient à rechercher la sous-stylaire quand le plan horizontal devient un plan dorientation quelconque. Yvon Massé

Méthode de A. Gunella publiée dans The Compendium V11 N4 Décembre 2004

A B C P S (H) Le gnomon PS et les 3 ombres PA, PB et PC.

A B C P S (H) Le Soleil est dans le prolongement des 3 segments SA, SB et SC.

A B C a P S c b (H) En prenant sur ces segments 3 distances égales Sa = Sb = Sc,...

A B C a P S c b (H)...a,b et c sont sur la surface dune sphère centrée sur S. En une journée, lensemble des points dintersection de la sphère avec les directions opposées au Soleil donne un cercle parallèle à léquateur. a, b et c sont donc situés sur ce cercle...

A B C a P S c b (H) (E) (I)...et par extension dans un plan (E) parallèle à léquateur. Lintersection de ce plan avec lhorizon (H) donne la droite (I) orientée Est-Ouest, donc perpendiculaire à la méridienne.

A B C a P S c b (H) (E) (I) Enlevons le cercle.

A B C a P S c b (H) (E) (I) X Dans le plan (E), prolongeons a et b, on obtient X sur (I).

A B C a P S c b (H) (E) (I) X Intéressons-nous au plan qui passe par S, a et b. Ce plan coupe le plan (E) suivant la droite abX et le plan (H) suivant la droite AB. Comme X appartient à la fois à ces 3 plans, X est donc dans le prolongement de A et B. Autre approche : on peut considérer A et B comme la projection de a et b du centre S sur le plan (H) (projection centrale). X appartient au plan (H), donc sa projection de S sur (H) donne X lui même. La projection centrale (ou perspective) conserve les alignements, donc la projection de la droite abX donne la droite AB qui passe aussi par X.

A B C a P S c b a' b' (H) (E) (I) X Projetons a et b orthogonalement sur (H), on obtient a et b (notons que X est sa propre projection orthogonale).

A B C a P S c b a' b' (H) (E) (I) X Le plan qui passe par a, b, a et b coupe le plan (E) suivant la droite abX et le plan (H) suivant la droite ab. Comme X appartient aux 3 plans à la fois, X est donc dans le prolongement de aet b. Autre approche : la projection orthogonale conserve les alignements. Le prolongement de ab passe donc par X.

A B C a P S c b a' b' c' (H) (E) (I) Y X Même principe, en prolongeant c et b on obtient Y sur (I). Y est dans le prolongement de C et B ainsi que de c et b, ce dernier point étant la projection orthogonale de c sur (H).

A B C a P S c b a' b' c' (H) (I) Y X Retirons les droites ab et cb ainsi que le plan (E) qui ne sont plus utiles.

A B C P S c b b' c' (H) (I) Y X a a' Rabattons le triangle SAP,...

A B C P S c b' c' (H) (I) Y X b a a'...SBP...

A B C a P S c b b' c' (H) (I) Y X a'...et SCP.

A B a b b' Y a' C P c c' X (I) Intéressons-nous uniquement aux tracés du plan (H). La droite (I) sobtient en reliant les points X et Y, la méridienne en tirant une perpendiculaire à (I) passant par P.

Le graphique dAlessandro Gunella dans son article ou il donne cette méthode en hommage à Gérard Desargues ( ), un des fondateurs de la géométrie projective.

Desargues a donné son nom à un théorème qui dit que si 2 triangles ont des sommets sur des droites concourantes (dans notre cas ABC et abc, les droites concourent en F) alors les intersections des cotés correspondants sont alignées (les triangles sont dit homologiques). La droite XY peut donc être obtenue indifféremment par l'intersection de 2 couples de droites parmi les couples (a'b', AB), (b'c', BC) et (c'a', CA). La limitation de ce choix apporte des simplifications.

Méthode de Muzio Oddi présentée dans son traité en italien De Gli Horologi Solari 1614

S P C A B (H) Le gnomon PS et les 3 ombres PA, PB et PC.

S P C A B (H) Le Soleil est dans le prolongement des 3 segments SA, SB et SC.

S P C A B a c (H) En prenant sur ces segments 3 distances égales au segment le plus court (répondant à la plus petite ombre) Sa = SB = Sc.

S P C A B a c (H) Comme précédemment a, B et c sont situés sur un cercle...

S P C A B a c (E) (I) (H)...qui se trouve dans un plan (E) parallèle à léquateur. Lintersection de ce plan avec lhorizon (H) donne la droite (I) orientée Est- Ouest, donc perpendiculaire à la méridienne.

S P C A B a c (E) (I) (H) Enlevons le cercle.

S P C A B a c (E) (H) X (I) Dans le plan (E), prolongeons a et c, on obtient X sur (I).

S P C A B a c a' c' (E) (H) X (I) Comme précédemment, on peut remarquer que X est dans le prolongement de A et C mais cette propriété ne sera pas exploitée ici. Projetons a et c orthogonalement sur (H), on obtient a et c (notons que X est sa propre projection orthogonale).

S P C A B a c a' c' (E) (H) X (I) Comme précédemment, X est dans le prolongement de aet c.

S P C A B a c a' c' (H) X (I) Rabattons le triangle aXa sur lhorizon et retirons le plan (E) qui nest plus utile.

A a a' (I) S P C B c c' (H) X Rabattons le triangle SAP,...

A a' (I) S P C B c c' (H) X a...SBP...

A a' (I) S P C B c c' (H) X a...et SCP.

A B a a' P C c c' X (I) Intéressons-nous uniquement aux tracés du plan (H). La droite (I) sobtient en reliant les points X et B, la méridienne en tirant une perpendiculaire à (I) passant par P.

Gravure telle quon la trouve dans le traité de Oddi.

Gravure plus connue que lon trouve dans les Récréations Mathématiques et Physiques de 1778.

Méthode de Hygin le Gromatique Géomètre Romain vers 100 après J.C. Exploitation de lalignement de A, C et X.

S P C A B a c a' c' (E) (H) X (I) Revenons à la figure juste avant le rabattement.

S P C A B a c a' c' (E) (H) X (I) Daprès ce que nous avons vu précédemment X est dans le prolongement de A et C.

S P C A B a c a' c' (H) X (I) Retirons le plan (E) qui nest plus utile.

A a a' (I) S P C B c c' (H) X Rabattons le triangle SAP,...

A a' (I) S P C B c c' (H) X a...SBP...

A a' (I) S P C B c c' (H) X a...et SCP.

A B a a' P C c c' X (I) Intéressons-nous uniquement aux tracés du plan (H). La droite (I) sobtient en reliant les points X et B, la méridienne en tirant une perpendiculaire à (I) passant par P.

Méthode de Diodorus d'Alexandrie Mathématicien Fin du 1 er siècle avant J.C. Rapportée par Neugebauer dans: A History of Ancient Mathematical Astronomy Méthode de Diodorus dAlexandrie (Diodore) fin du 1 er siècle avant JC, rapportée par Otto Neugebauer dans son livre de référence : A History of Ancient Mathematical Astronomy, 1975.

A B P C (H) S Le gnomon PS et les 3 ombres PA, PB et PC.

A B P C (H) S Le Soleil est dans le prolongement des 3 segments SA, SB et SC.

A B P c C (H) S b En prenant sur ces segments 3 distances égales SA = Sb = Sc au segment de longueur moyenne (répondant à lombre de moyenne longueur), b est sous le plan (H).

A B P c C (H) S b Comme précédemment A, b et c sont situés sur un cercle...

A B P c C (I) (H) (E) S b...qui se trouve dans un plan (E) parallèle à léquateur. Lintersection de ce plan avec lhorizon (H) donne la droite (I) orientée Est- Ouest, donc perpendiculaire à la méridienne.

A B P c C (I) (H) (E) S b Enlevons le cercle.

A B P c X C (I) (H) (E) S b Dans le plan (E), traçons le segment bc, on obtient X sur (I).

A B P c X C (I) (H) (E) S b Comme précédemment, on peut remarquer que X est sur le segment BC.

A B b' P c c' X C (I) (H) (E) S b Projetons b et c orthogonalement sur (H), on obtient b et c (notons que X est sa propre projection orthogonale).

A B b' P c c' X C (I) (H) (E) S b Comme précédemment, X est sur le segment bc.

A B b' P c c' X C (I) (H) S b Retirons le segment bc et le plan (E) qui ne sont plus utiles.

A B b' P c c' X C (I) (H) S b Rabattons le triangle SAP,...

A B b' P c c' X C (I) (H) S b...SBP...

A B b' P c c' X C (I) (H) S b...et SCP.

A B P c C (I) b X c' b' Intéressons-nous uniquement aux tracés du plan (H). La droite (I) sobtient en reliant les points X et A, la méridienne en tirant une perpendiculaire à (I) passant par P. Lintérêt de cette méthode est sa compacité et la simplicité de son tracé, elle est toutefois présentée un peu différemment dans louvrage de Neugebauer.

A B b' P c c' X C (I) (H) S b Revenons à la figure juste avant les rabattements.

A B b' P c c' X C (I) (H) S b A S P Sur une figure annexe, reproduisons les triangles SAP,...

A B b' P c c' X C (I) (H) S A S b b' P B...SBP...

A B b' P c' X C (I) (H) S A S b C b' P B c' c...et SCP de manière à obtenir toutes les distances de la figure (par exemple Pb ou cc) à laide dun arc de cercle de centre S et de rayon SA.

A B P S c' C (I) b' X P B c' C A b c Comme précédemment, en sintéressant uniquement aux tracés du plan (H)...

...on retrouve la figure proposée par Neugebauer.

A B b' P c' X C (I) S Pour ceux qui préfèrent les calculs, on obtient les distances Pb et Pc par les formules ci-dessus.

Méthode de De Vaulezard Publiée en 1644 Dans son taité donnant la démonstration du cadran analemmatique De Vaulezard était un contemporain de G. Desargues.

P S C (H) A B Le gnomon PS et les 3 ombres PA, PB et PC.

P S C (H) A B Le Soleil est dans le prolongement des 3 segments SA, SB et SC.

P S C (H) A B A' On duplique le triangle SAP en le translatant de façon que A vienne en P.

B' P S C (H) A B C' A' De même pour les triangles SBP et SCP. Le Soleil est dans le prolongement des 3 segments PA, PB et PC.

B' P S a C (H) A B C' c A' En prenant sur ces segments 3 distances égales Sa = SB = Sc au segment du milieu...

B' P S a C (H) A B C' c A'...a, B et c sont à la surface dune sphère centrée sur P. En une journée, lensemble des points dintersection de la sphère avec les directions du Soleil donne un cercle parallèle à léquateur. a, B et c sont donc situés sur ce cercle...

B' P S a C (I) (H) (E) A B C' c A'...et par extension dans un plan (E) parallèle à léquateur. Lintersection de ce plan avec lhorizon (H) donne la droite (I) orientée Est-Ouest, donc perpendiculaire à la méridienne.

B' P S a C (I) (H) (E) A B C' c A' Retirons le cercle...

B' P S a C (I) (H) (E) A B C' c A'...et les segment SA, SB et SC dont nous navons plus besoin.

B' P Y S a C (I) (H) (E) X A B C' c A' Dans le plan (E), prolongeons B et c puis B et a, on obtient respectivement X et Y sur (I).

B' a' P Y S a C (I) (H) (E) b' X A B C' c' c A' Projetons a et c orthogonalement sur (H), on obtient a et c (notons que X et Y sont leur propre projection orthogonale).

B' a' P Y S a c c' C (I) (H) (E) b' X A B C' A' Comme précédemment, on remarque que X est dans le prolongement de b et c et que Y est dans celui de b et a.

B' a' P Y S a c C (I) (H) (E) b' X A B C' c' c B' A' Rabattons les triangles BXb...

A' B' a' P Y S a C (I) (H) b' X A B C' c c' a c B'...et BYb.

Y (I) (H) b' X C' A' c a a' P S A B C c' a c B' P b' Sur une figure annexe, reproduisons les triangles BPb,...

Y (I) (H) b' X C' c a a' P S A B C c' c A' B' P a b'a'...APa...

a' P Y S a C (I) (H) b' X A B c A' B' b' P a c' C' c c' B' a'...et CPc de manière à obtenir toutes les distances de la figure (par exemple Pa ou cc) à laide dun arc de cercle de centre P et de rayon PB.

A B a' P Y c' C (I) b' X a c A' B' P a C' c B' b'c'a' Intéressons-nous uniquement aux tracés du plan (H). La droite (I) sobtient en reliant les points X et Y, la méridienne en tirant une perpendiculaire à (I) passant par P.

Gravure telle quon la trouve dans le traité de De Vaulezard. La méthode permettait ensuite de tracer entièrement le cadran en nutilisant que laplomb du point S comme donnée complémentaire.

Autres méthodes donnant le centre du cadran. Une autre technique consiste à trouver l'axe polaire. Il se trouve à l'intersection des plans médiateurs des segments ab et bc. Pedro Nunez proposa cette approche au milieu du XVI e siècle. L'intersection de l'axe polaire avec le plan de l'horizon donne le centre du cadran C, la droite CP est la méridienne. Dans le cas d'un plan quelconque la droite CP est la sous-stylaire. a P S c b

Méthode de De La Hire Professeur royal en mathématique publiée dans sa Gnomonique 1698

Gravure illustrant sa méthode. Le pied du faux style est en P, les 3 points dombre sont A, B et D, enfin les traces des plans médiateurs sont les droites GH et gh qui se coupent en C. La sous- stylaire est la droite qui passe par C et P. En plus des erreurs du graveur, par exemple la distance EZ devrait être égale à EF, les 3 points dombre donnent une déclinaison du Soleil denviron 45° !!! Noublions pas que la géométrie est lart de raisonner juste sur des figures fausses...

Méthode de Mahistre décrite dans un opuscule L'art de tracer les Cadrans Solaires à l'usage des instituteurs Seconde édition 1864

Gravure illustrant sa méthode. Le pied est en P et les 3 points dombre en A, B et C. Le centre du cadran est en O. La méthode est développée dans larticle cité au début de cette présentation, article dAlessandro Gunella que je remercie vivement ici pour laide efficace quil ma apportée et les textes quil ma généreusement fait parvenir.

A B C a P N c b S Soit A le premier point d'ombre, B le second et C le dernier. Si Alors Ou encore Une formulation simple donne aussi le vecteur indiquant la direction du pôle nord.

Bibliographie : Y. MASSE : Bedos de Celles Figure. The Compendium. Vol. 12 No. 2. Juin A. GUNELLA : How to find the parameters of a dial on a plane surface, knowing only three shadow points of the vertex of the gnomon on the wall. The Compendium. Vol. 11 No. 4. Décembre Y. MASSE : Comment tracer un cadran incliné et déclinant à l'aide de trois observations d'ombres inégales. Le Gnomoniste. Vol. 10 No. 3. Septembre D. SAVOIE : Les naufragés gnomonistes. Gnomonique moderne. Société Astronomique de France F. SAWYER : A three-point sundial construction. Sciatheric notes - I. North American Sundial Society Press O. NEUGEBAUER : A History of Ancient Mathematical Astronomy. Berlin A. MAHISTRE : Lart de tracer les Cadrans Solaires à lUsage des Instituteurs. Paris 1864 (2 ième édition). R.G. de la PRISE : Méthode nouvelle et générale pour tracer facilement des cadrans solaires sur toutes surfaces planes. Bayeux J. OZANAM/ J. E. MONTUCLA : Comment on peut trouver la méridienne par trois observations d'ombres inégales. Récréations mathématiques et physiques. Paris P. de la HIRE : Trois points d'ombre étant donnés sans connaître la hauteur du Pôle ni la déclinaison du Soleil : trouver le centre du Cadran. La Gnomonique. Paris W. LEYBOURN : Dialling, Plain, Concave, Convex, Projective, Reflective, Refractive. London J. COLLIN : Geometrical Dialling. London DE VAULEZARD : Traité de lorigine, démonstration, construction et usage du cadran analemmatique. Paris M. ODDI : De gli Horologi Solari nelle Superficie Piane. Milan 1614.