Faculté de Sciences Sociales de Strasbourg – L1S2 2016 – 2017 Séance 2 Probabilités Faculté de Sciences Sociales de Strasbourg – L1S2 2016 – 2017 Séance 2

Séances à venir 03 mars 10 mars 17 mars 8 avril 28 avril Partiel final : 11 mai de 8h00 à 10h00 fvarieras@unistra.fr

Probabilités ? Quelques définitions à poser Probabilité a priori Probabilité déterminée à l’avance, sans effectuer aucune expérience Probabilité empirique (a posteriori ou méthode fréquentiste) Déterminée à l’aide d’observation et d’expérimentation Fréquence relative d’occurrence de l’événement lorsque l’expérience est répétée un très grand nombre de fois Probabilité subjective Jugement, intuition possiblement alimentée par une expérience pertinente pour juger de la situation

Approches subjectives Approches objectives Probabilité a priori Loi des grands nombres (Bernoulli) Probabilité a posteriori Statistiques de mortalité Recensements des populations / faits sociaux Approches subjectives Pari de Pascal Théorème de Bayes

Qu’est-ce qu’une probabilité ? Basée sur la constatation que l’occurrence d’un événement à tendance à se stabiliser autour d’une valeur spécifique quand le nombre d’observations devient élevé… ESSAYONS ! La probabilité est une mesure des chances de réalisation de l’événement d’une expérience aléatoire : 𝑝= 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

L’expérience aléatoire ? On peut répéter l’expérience L’expérience a plusieurs issues possibles Le résultat d’une expérience est imprévisible → SOUVENT, il y a incertitude quant à la réalisation ou non d’un événement

Les proba, c’est se confronter à l’Univers 𝑝= 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 L’ensemble des cas possibles d’une expérience aléatoire = UNIVERS DES POSSIBLES Le nombre d’éléments de Ω s’appelle cardinal de Ω et se note Card(Ω) Ω Dit « Omega »

Les proba, c’est se confronter à l’Univers Lancer de dé : 6 résultats possibles Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ou … Ω={paire, impaire} à 2 éléments L’univers se compose d’issues, d’éléments, de tous les résultats possibles Faire une expérience: n résultats possibles Ω= {ω1, ω2, ω3, ω4, …, ωn } à n éléments

Evénement, éléments, ensemble et cardinal Signification Notation Soit l’événement A : « obtenir un multiple de 2 » A : « obtenir un multiple de 2 » L’ensemble A contient les éléments 2, 4 et 6 A = {2 ; 4 ; 6} Le cardinal est égal à trois Card(A) = 3 |A| = 3

Quelle est la probabilité que tout se passe bien ? Voyage au bout de l’enfer de Michael Cimino, 1978

Quelle est la probabilité que tout se passe bien ? Quel est l’univers ? Quel est l’événement ? Ω = {V;P;V;V;V;V} avec V : trou de barillet vide P: trou de barillet plein Card(Ω) = 6 Card(V) = 5 P(V) = 𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔 = 𝟓 𝟔 = 0,83 Voyage au bout de l’enfer de Michael Cimino, 1978

« Il ne faut pas en vouloir aux événements » Marc-Aurèle On appelle événement toute partie de Ω Toute expérience aléatoire comprend un événement certain et un événement impossible Événement certain : Univers → Ω C’est un événement qui contient tous les éléments de l’univers Événement impossible : Ensemble vide → ∅ C’est un événement qui n’est pas dans l’univers, qui n’a pas d’éléments

« Il ne faut pas en vouloir aux événements » Marc-Aurèle Événement élémentaire Événement composé d’une seule issue Exemple : - Soit l’événement P :  « tirer une balle du barillet » Card(P) = 1 → s’il y a une seule balle Événement composé événement composé de plusieurs issues Le cardinal est alors > 1

« Il ne faut pas en vouloir aux événements » Marc-Aurèle Événement contraire Si A est un événement issu d’une expérience aléatoire de Ω, on appelle événement contraire à A, l’événement constitué par tous les éléments qui n’appartiennent pas à A Exemple : Soit l’événement P :  « tirer une balle du barillet » Alors 𝑃 : « ne pas tirer une balle du barillet»

Ensemble fondamental (Ω) Fini On lance un dé, on s’intéresse au chiffre obtenu. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Infini Dénombrable On jette une pièce autant de fois que nécessaire pour obtenir une fois "face". Ω = {F, PF, PPF, PPPF, . . . , PPP · · · PPF, . . .} Indénombrable On s’intéresse à la durée de vie d’une bactérie. Ω = [0, +∞[.

Quelques notations a ∈ A A ⊂ B A ∩ B A U B Écriture Lecture Sens a appartient à A L’éléménent a appartient à l’ensemble A A ⊂ B A est inclus dans B L’ensemble A est inclus dans l’ensemble B A ∩ B A inter B A et B Ensemble des éléments communs à A et à B, appartenant à la fois à A ET à B A U B A union B A ou B Ensemble des éléments appartenant à au moins un des deux ensembles : Soit à A, soit à B, soit au deux à la fois

Quelques illustrations…

Des propriétés en priorité 𝐴∩𝐴=𝐴 𝐴∪𝐴=𝐴 𝐴∩∅=∅ 𝐴∪∅=𝐴 𝐴∩ 𝐴 = ∅ 𝐴∪ 𝐴  = Ω

Des propriétés en priorité La distributivité Distributivité de l’intersection sur la réunion 𝐴∩(𝐵∪𝐶)=(𝐴∩𝐵) ∪(𝐴∩𝐶) L'intersection de la réunion de deux ensembles avec un troisième ensemble est égale à la réunion de l'intersection de chacun des deux premiers ensembles avec le troisième Distributivité de la réunion sur l’intersection 𝐴∪(𝐵∩𝐶)=(𝐴∪𝐵) ∩(𝐴∪𝐶) La réunion de l'intersection de deux ensembles avec un troisième ensemble est égale à l'intersection de la réunion de chacun des deux premiers ensembles avec le troisième

Des propriétés en priorité Loi de Morgan Ni l’un ni l’autre 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴∪𝐵 L’intersection des contraires est l’événement contraire d’une réunion Tout sauf l’intersection 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴∩𝐵 L’événement réunion des contraires est l’événement contraire d’une intersection

Des nombres ? Dénombre. L’un ou l’autre 𝐴∪𝐵 L’un et l’autre 𝐴∩𝐵 Règle de l’addition L’un et l’autre 𝐴∩𝐵 Règle de la multiplication 𝑝= 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

Dénombrement Règle de l’addition : l’un ou l’autre Événements compatibles / non mutuellement exclusifs 𝑨∪𝑩 = 𝑨 + 𝑩 − 𝑨∩𝑩 Exemple : tirer un as et un pique → tirer un as de pique

Dénombrement Règle de l’addition : l’un ou l’autre Événements compatibles / non mutuellement exclusifs 𝑨∪𝑩 = 𝑨 + 𝑩 − 𝑨∩𝑩 Exemple : Expérience aléatoire d’un tirage d’une carte dans un jeu de 32 cartes. On note A = « obtenir un cœur » et B = « obtenir une reine » → Calculer Card(AUB) ?

Dénombrement Règle de l’addition : l’un ou l’autre Événements incompatibles / mutuellement exclusifs 𝑨∪𝑩 = 𝑨 + 𝑩 Dans ce cas 𝑨∩𝑩 = ∅ Exemple : Impossible pile et face en même temps

Dénombrement Règle de l’addition : Poincaré Principe d’inclusion et d’exclusion / formule de Poincaré 𝑨∪𝑩∪𝑪 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 − 𝑨∩𝑩 − 𝑨∩𝑪 − 𝑩∩𝑪 + 𝑨∩𝑩∩𝑪

Dénombrement Règle de l’addition : Poincaré 𝑨∪𝑩∪𝑪 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 − 𝑨∩𝑩 − 𝑨∩𝑪 − 𝑩∩𝑪 + 𝑨∩𝑩∩𝑪 Lorsqu’on calcule 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 , on compte 1 fois les éléments qui sont dans un seul des trois ensembles zones en blanc 2 fois ceux qui sont exactement dans deux ensembles zones en rouge 3 fois ceux qui sont à l’intersection des trois ensembles zones en vert

Dénombrement Règle de l’addition : Poincaré 𝑨∪𝑩∪𝑪 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 − 𝑨∩𝑩 − 𝑨∩𝑪 − 𝑩∩𝑪 + 𝑨∩𝑩∩𝑪 Pour ne plus compter en double les intersections deux-à-deux, on soustrait les cardinaux des intersections, ie les zones en rouge − 𝐴∩𝐵 − 𝐴∩𝐶 − 𝐵∩𝐶

Dénombrement Règle de l’addition : Poincaré 𝑨∪𝑩∪𝑪 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 − 𝑨∩𝑩 − 𝑨∩𝑪 − 𝑩∩𝑪 + 𝑨∩𝑩∩𝑪 Mais la zone verte a été comptée 3 fois en positif, puis 3 fois en négatif… Il faut donc la rajouter 1 fois

Les probabilités…

Les probabilités 𝑝 𝐴 = 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴) 𝑐𝑎𝑟𝑑(Ω) = 𝐴 Ω 𝑝 𝐴 = 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴) 𝑐𝑎𝑟𝑑(Ω) = 𝐴 Ω Tout événement impossible a une probabilité nulle 𝑝 ∅ = ∅ Ω =0 La probabilité de l’événement certain est 𝑝 Ω = Ω Ω =1

Les probabilités Règle de l’addition 𝑝 𝐴 = 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴) 𝑐𝑎𝑟𝑑(Ω) = 𝐴 Ω Événements non mutuellement exclusifs 𝐴∪𝐵 = 𝐴 + 𝐵 − 𝐴∩𝐵 𝑝 𝐴⋃𝐵 =𝑝 𝐴 +𝑝 𝐵 −𝑝(𝐴∩𝐵) Événements mutuellement exclusifs 𝐴∪𝐵 = 𝐴 + 𝐵 𝑝 𝐴⋃𝐵 =𝑝 𝐴 +𝑝 𝐵 Généralisation : Même principe avec la formule de Poincaré

Les probabilités Événements contraires Rappel 𝐴∩ 𝐴 =∅ 𝐴∪ 𝐴 =Ω 𝑝 Ω =1=p A∪ 𝐴 =𝑝 𝐴 +𝑝( 𝐴 ) 𝑝 𝐴 +𝑝 𝐴 =1 → 𝒑 𝑨 =𝟏−𝒑( 𝑨 ) → 𝒑( 𝑨 )=𝟏−𝒑(𝑨)

To be continued…