Exemple concret de situation problème Objectif visé du programme de 6ème: Calculer le quotient et le reste d’une division d’un entier par un entier dans des cas simples. Commentaire du programme : La mise en place de techniques « expertes » est poursuivie, en se limitant à des diviseurs à un ou deux chiffres. La compréhension des étapes de la division posée en améliore la maîtrise.

Étape 1 – Choix de la situation Voici la situation problème choisie : Elle comporte trois étapes : Phase 1 : inscrire au tableau et faire faire sur feuille sans limitation de temps. Problème 1 : J’ai 75 œufs à mettre en boîte de 12. Combien de boîtes dois-je prévoir ? Phase 2 : inscrire au tableau et faire faire en temps limité Problème 2 : Avec 5338 feuilles, combien peut-on faire de paquets de 716 feuilles ? Phase 3 : Inscrire au tableau et faire faire en temps limité Problème 3 : Avec 8145 clous, combien de paquets de 23 clous peut-on faire ? Adapté de : Concepts clés et situations-problèmes en mathématiques, d’Odette Bassis, dans la collection pédagogie pratique à l’école et au collège, Hachette.

Déroulement et explication de cette situation problème L’objectif du problème 1 est de faire ressortir les représentations antérieures voire les acquis antérieurs des élèves, (y compris des plus faibles) Le problème 1 est mis au tableau, sur une feuille (même de brouillon), on demande aux élèves d’écrire leurs recherches puis une phrase réponse. Étape 2 – Appropriation du problème par les élèves Le texte ne devrait pas poser de problème de compréhension, ils se mettent au travail, ils ont déjà fait ça. Voici quelques réponses d’élèves :

Additions successives Problème 1 : J’ai 75 œufs à mettre en boîte de 12. Combien de boîtes dois-je prévoir ? Additions successives

Soustractions successives

Recherche de multiplication à trou, donc du résultat d’une division, donc recherche de paquets de 12 possibles par soustraction.

Pose d’une division

Étapes 3 et 4 – Formulation de conjectures et résolution par les élèves Les deux premières réponses sont alors exposées par les élèves au tableau. Des réflexions arrivent alors des autres élèves : « oui, c’est la bonne réponse » « mais, c’est trop long » Aucune autre réponse plus experte encore ne sera donnée ici par l’enseignant, seul commentaire : « D’autres réponses sont évidemment possibles et tout aussi correctes. » Les élèves un peu plus « en retard » sur cette notion entre ici dans un défi à surmonter. Le problème 2 est alors indiqué au tableau, le temps est limité, on ne peut donc plus réutiliser la méthode décrite précédemment. Voici quelques réponse d’élèves :

Problème 2 : Avec 5338 feuilles, combien peut-on faire de paquets de 716 feuilles ? Recherche par soustractions abandonnée, recherche par division abandonnée, recherche par multiplication puis soustraction adoptée

Recherche par multiplication, le nombre à multiplier n’est d'abord pas le bon.

Pose de la division !

Suite à ce travail, seront présentées au tableau les deux premières réponses, une explication sera demandée, par le professeur si les élèves ne le font pas d’eux même, sur le choix du nombre 7. L’idée à faire apparaître ici est la recherche du plus grand nombre de paquets possible. En environ 53 centaines combien peut-on faire de paquets de 700 feuilles environ c’est-à-dire de paquets de 7 centaines de feuilles. Soit en 53 combien de paquets de 7. Des grand nombres sont ici nécessaires pour éviter la succession de soustractions, qui devient alors trop longue. Le problème 3 est alors inscrit au tableau, le temps est de nouveau limité. Voici des réponses d’élèves :

Problème 3 : Avec 8145 clous, combien de paquets de 23 clous peut-on faire ? Recherche d’un nombre possible de paquets de 23, avec petits puis grands nombres.

Recherche d’un encadrement du nombre à trouver entre 300 et 400 puis 350…

Recherche inefficace d’un nombre possible de dizaines

Pose de la division

Étape 5 : Échange argumenté autour des productions Les trois premières recherches sont exposées à la classe, la solution n’est pas obtenue, un débat s’installe entre les élèves Les élèves qui ont déjà une maîtrise plus poussée de la division devraient faire avancer le débat vers l’intérêt d’utiliser la technique de la division posée… Il reste donc maintenant à résoudre le problème de l’apprentissage de cette technique pour les autres élèves… !

Étape 6 – Structuration des connaissances : L’enseignant ne devrait pas intervenir tant qu’une solution semblable n’est pas apparue, il intervient maintenant pour officialiser ce travail et proposer une autre disposition : 8145 23 - 6900 centaines dizaines unités = 1245 3 - 1150 = 95 - 92 = 3 5 4 8 145 = 23 x 354 + 3 Étape 7 – Opérationnalisation des connaissances reste à donner divers exercices