Analyse Numérique Problèmes Pratiques Dérivation Intégration

Introduction f connue besoin de connaître f' sur un certain nb de points ou analytiquement besoin de connaître f' sur ces points sans faire le calcul analytique. besoin de calculer l'intégrale sans calculer la primitive (quadrature) Ph. Leray Analyse Numérique

Dérivation numérique 1/5 Méthode "naïve" : en théorie, la formule est vraie pour h  0 en pratique, attention au choix de h ! h trop grand : calcul trop approximatif h trop petit : problèmes d'arrondis Ph. Leray Analyse Numérique

Dérivation numérique 2/5 Méthode des différences centrales : Taylor : On connaît f sur un ensemble de points {xi,yi} h = xi+1 - xi f(x+h)  f(x-h)  Ph. Leray Analyse Numérique

Dérivation numérique 3/5 Méthode des différences centrales (suite) : f(x+h) - f(x-h)  en négligeant les termes en h3 : meilleure approximation que la méthode "naïve" (h3/h2) Ph. Leray Analyse Numérique

Dérivation numérique 4/5 Méthode des différences centrales (suite) : calcul des dérivées d'ordre supérieur : f"(xi) ? Ph. Leray Analyse Numérique

Dérivation numérique 5/5 Méthode des différences centrales (fin) : calcul des dérivées d'ordre supérieur : en négligeant les termes en h4 : et pour les autres dérivées ? Ph. Leray Analyse Numérique

Intégration numérique 1/ Plusieurs méthodes : a et b finis On connaît f sur un ensemble de points {xi,yi} polynôme d'interpolation sur n+1 points Newton-Cotes On connaît f sur autant de points que l'on veut polynôme d'interpolation + choix de n+1 points Gauss-Legendre a ou b infini Gauss-Laguerre, ... Ph. Leray Analyse Numérique

Intégration numérique 2/ Méthodes polynomiales On connaît la fonction sur n+1 points 2 solutions : calculer le polynôme d'interpolation de degré n : Pn(x) calculer l'intégrale du polynôme de degré n problème = les polynômes de degré élevé oscillent énormément regrouper les n+1 points en sous-intervalles de p+1 points (avec p+1 faible) calculer les polynômes d'interpolation de degré p sommer les intégrales de chaque sous-intervalle Ph. Leray Analyse Numérique

Intégration numérique 3/ Méthode des trapèzes : p+1=2 points polynôme d'interpolation=droite A = soit h = xi+1 - xi A Ph. Leray Analyse Numérique 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Intégration numérique 4/ Méthode de Simpson: p+1=3 points polynôme d'interpolation de degré 2 i va de 0 à n-2 avec un pas de 2 A Ph. Leray Analyse Numérique 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Intégration numérique 5/ Méthode générale Newton-Cotes: p+1 points polynôme d'interpolation de degré p: Pp(x) comment trouver les i ? A Ph. Leray Analyse Numérique 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Intégration numérique 6/ Méthode générale Newton-Cotes: p+1 points calcul des i = décomposition de l'intégrale dans la base {1, t, … tp} A Ph. Leray Analyse Numérique 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Intégration numérique 7/ Exercice : Utiliser la méthode de Newton-Cotes pour : retrouver la méthode des trapèzes retrouver la méthode de Simpson trouver la méthode de Simpson "3/8" (p+1=4) Ph. Leray Analyse Numérique

Intégration numérique 8/ Quelle erreur comment-on avec Newton-Cotes ? Pour chaque sous-intervalle (et donc chaque A) : erreur d'interpolation : [ (x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xp) ] erreur de quadrature : M majorant de |f (p+1)| Ph. Leray Analyse Numérique

Intégration numérique 9/ Erreur de quadrature pour : les trapèzes Simpson Ph. Leray Analyse Numérique

Intégration numérique 10/ Méthodes polynomiales récursives : ex pour la méthode des trapèzes découpage récursif de la surface en trapèzes I(0) I(1) Ph. Leray Analyse Numérique 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Intégration numérique 11/ Bornes infinies ? Méthode de Gauss-Laguerre Ph. Leray Analyse Numérique

Intégration numérique 12/ Intégrales multiples ? Ex avec la méthode de Simpson en dimension 2 : zij = f(xi, yj) k = yi+1 - yi h = xi+1 - xi Ph. Leray Analyse Numérique

Sujet de TD Ph. Leray Analyse Numérique

Conclusion Ph. Leray Analyse Numérique