Regime Sinusoidal Etabli Cours 8 Regime Sinusoidal Etabli

Reponse Sinusoidal Serie et transformee de fourier Signal: amplitude vs. frequence (a la place de amplitude vs. temps)

Reponse Sinusoidal Reponse d’un systeme peut aussi etre amplitude vs. frequence On a déjà vu des exemples:

Reponse Sinusoidal Si entrée est 1x106, gain est 1 Si entrée est 1x109, gain est autour de 0.5 …

Conventions Gain: V/V, A/A, etc. echelle lineaire Gain decibels (dB) echelle logarithmique Quand ca va de tres bas a tres haut Originalement pour gain de puissance

Conventions Sachant que P=VI=V2/R Meme chose pour gain de courant

Conventions Dans le filtre passe bas on voit que le gain baisse diminue avec la frequence DEFINITION: Frequence de coupure: Frequence ou le gain a -3dB du maximum (autre nom: frequence -3dB)

Conventions Gain maximal Frequence de coupure

Conventions Definition: Bande passante: plage de frequences ou le gain est plus que -3dB Bande passante Bande passante

Cas Concret: filtre passe bas Prenons par exemple un filtre passe bas: Son gain maximal est 1 (w=0)

Cas Concret: filtre passe bas Dans ce cas PARTICULIER, w-3dB est la meme que la bande passante. -3dB w-3dB

Exemple de calcul On va trouver les caracteristiques de ce circuit:

Exemple de calcul La frequence -3dB c’est quand le gain devient : On multiplie par le denominateur Equation en w du 4e ordre:

Exemple de calcul Pour equation de 2e ordre, solution est: On peut substituer x=w2 et faire semblant que c’est 2e ordre:

Exemple de calcul Coefficients de l’equation quadratique: Ca se simplifie

Exemple de calcul Sachant que x=w2, w devient: Ca peut s’exprimer comme:

Exemple de calcul Avec C=10-12, L=10-9 et R=100 Bande Passante

Exemple de calcul On voit ici 3 differentes valeurs de R. Changer R => changer bande passante Autre terme: Facteur de Qualite (Q)

Facteur de Qualite Definition

Facteur de Qualite La frequence de resonance: La bande passante:

Facteur de Qualite Avec la frequence naturelle et la bande passante, on trouve Q: On substitue avec les valeurs:

Facteur de Qualite Regardons la forme classique: On voit que On sait aussi que On peut deduire que:

Exemple Exemple (seul) Trouvez le wn, le z et le Q de ce circuit

Exemple On ecrit la fonction de transfert On le re-ecrit sous la forme classique Deja on voit que:

Exemple On regarde le coefficient de s: Le coefficient d’amortissement devient: Le facteur de qualite est:

Naturelle vs. Resonance Frequence naturelle et frequence de resonance: terme parfois interchangeable Un systeme peut avoit frequence naturelle sans avoir de resonance Resonance: quand une frequence reagit plus que les autres

Naturelle vs. Resonance Les 3 courbes ont la meme frequence naturelle Frequence de resonance Pas de resonance

Resonance: pourquoi? On a parle de circuits resonants On a parle de facteur de qualite Ca peut sonner abstrait Exemple d’applications: transmetteur radio

Application: Radio AM On aimerait envoyer la musique par radio On comence par amplifier le signal Ensuite on l’envoie dans une antenne Ondes electromagnetiques se propagent et vont a l’autre antenne De l’autre bord, on amplifie et on entend la musique

Application: Radio AM PROBLEME: Pour bien propager, il faut grosse antenne Basse frequence: longue antenne (musique= “basse frequence”) Haute frequence: petite antenne Comment faire?

Application: Radio AM Modulation: si notre signal est ce sinus On enverrait une onde rapide avec amplitude qui SUIT la forme de l’autre

Application: Radio AM Avec haute frequence, ca transmet par l’antenne L’autre bord le recoit, l’amplifie et on l’entend. La resonance la dedans?

Application: Radio AM Radio AM: Entre 540KHz et 1600KHz C-a-d, “haute vitesse” est 540-1600KHz Il y a plusieurs stations radio qui utilisent plusieurs de ces frequences Si on veut entendre qu’un seul poste, il selectionner UNE SEULE FREQUENCE et ignorer les autres

Application: Radio AM Quel circuit connait-on qui prend une seule frequence et enleve les autres? Circuit LC Prend seulement les frequences TRES PROCHES de

Application: Radio AM Facteur de qualite: la “selectivite” Ex: Station radio A module a 600KHz et station B a 610KHz. Est-ce notre circuit serait capable d’amplifier seulement 600KHz? (est-ce que son Q est assez eleve?)

Application: Radio AM Voici un exemple: On envoie onde sinus de 3KHz On module avec sinus de ~60KHz 3KHz On ajuste cette frequence. ~ 60KHz 60KHz

Signal de 3KHz module avec haute vitesse

Application: Radio AM Recepteur utilise LC de 60KHz On change la frequence de modulation Droite: on s’approche de la frequence LC

Application: Radio AM Gauche: quand frequence LC = frequence modulation Droite: on depasse la frequence LC

Application: Radio AM Resultats (tentative): Oscilloscope: signal recu et amplifie Speaker: son recu et amplifie

Diagramme de Bode Figure gain vs. frequence Echelle logarithmique Approximation asymptotique

Diagramme de Bode On va prendre un exemple banal pour expliquer le raisonnement: filtre RC En regime sinusoidal etabli:

Diagramme de Bode Son gain: En decibels: Sa phase:

Diagramme de Bode Rappelons-nous de quelques proprietes: On peut re-ecrire l’equation du gain:

Diagramme de Bode Forme plus conviviale: 2 cas extremes: Quand w << 1/RC Quand w >> 1/RC

Diagramme de Bode On rejoin les courbes ou w=1/RC A ce point, le gain

Diagramme de Bode Conclusions de l’experience precedente Chaque pole cause une baisse de -20dB par LOG10w LOG10w augmente de 1 quand w augmente de 10 DONC, le gain baisse de -20dB quand la frequence augmente de 10 fois. On appelle ca une decade COMMENCE au pole (valeur absolu) w= 1/CR

Diagramme de Bode On pourrait aussi faire le meme exercice avec les zeros: Il y aura une augmentation de +20dB/decade Le gain commencera a la frequence du zero Zero

Diagramme de Bode: amplitude On peut resumer: Chaque pole reel cause -20dB/decade Chaque zero reel cause +20dB/decade Echelle logarithmique: c’est une droite Le changement se produit AU pole/zero Rappel: Decade=10X.

Diagramme de Bode: amplitude Recette magique: Re-arranger la fonction de transfert Trouver gain a une frequence donnee (0 ou autre) Identifier les poles et les zeros Tracer les axes en base logarithmique Tracer les lignes

Exemple Il faut connaitre les poles et les zeros Il faut connaitre la fonction de transfert

Exemple Gain a 0rad/s: Substituons avec les valeurs:

Exemple On trace le diagramme au complet

Pole/Zero a l’Origine Les choses se compliquent pour fonctions avec poles et zeros a l’origine (s=0) Gain est soit 0 ou infini a 0 On ne peut pas dessiner frequence 0 puisque log100 ne se dessine pas.

Pole/Zero a l’Origine Imaginons qu’on avait une fonction de transfert: Frequence 0: descend de -20dB/decade Frequence 10: la pente changerait ENCORE de -20dB/decade (devient -40) Ca commence a quelle valeur?

Pole/Zero a l’Origine On change la forme de l’equation: Quand frequence=3/10, amplitude dans parenthese est a peu pres 1 Gain TOTAL est a peu pres 1 Si sous cette forme, coefficient de 1/s est frequence ou gain=1

Pole/Zero a l’Origine Notre diagramme de Bode commencerait a w=3/10 dans ce cas-ci Pente plus raide 3/10

Pole/Zero a l’Origine Pour le cas du zero, situation semblable Si fonction de transfert etait La frequence avec gain unitaire serait 5 (et non 1/5!) Approximation fonctionne mieux quand poles/zeros valeurs elevees

Exemple Exemple (seul): Reformatter l’equation Trouver gain a une frequence donnee Identifier pole/zero Tracer lignes

Exemple Fonction de transfert: Gain de 1 se trouve a la frequence Zeros: 0 et -400 Poles: -10

Exemple Diagrammes de Bode (Amplitude)

Diagramme de Bode: phase On sait comment tracer le gain Il faudrait aussi considerer la phase La phase est donnee par:

Diagramme de Bode: phase Si on considere un pole/zero comme La phase serait: Quand w << A, phase =0 Quand w >> A, phase =90 Quand w=A, phase=

Diagramme de Bode: phase On sait que le dephasage est Donc, pour zero: w >> A, dephasage est 90 Et pour pole: w >> A, dephasage est -90

Diagramme de Bode: phase Dephasage d’un zero Dephasage d’un pole

Diagramme de Bode: phase Recette magique: Trouver dephasage a basse frequence Tracer l’axe de frequence en base logarithmique Identifier les poles/zeros Pour chaque pole/zero: Idenfier (frequence * 10) Identifier (frequence / 10) Commencer dephasage de 45/decade a freq/10 Arreter dephasage a freq*10

Diagramme de Bode: phase Zeros: 0, 400 Points importants: 40, 400, 4000 Pour 0: Freq*10=Freq/10=0 Poles: 10 Points importants: 1, 10, 100 -45 degres/decade 45 degres/decade

Diagramme de Bode: phase Dephasage a basse frequence est TYPIQUEMENT 0 (quand w->0) Quand pole/zero a l’origine: Zero: dephasage 90 degres PARTOUT Pole: dephasage -90 degres PARTOUT

Diagramme de Bode: phase

Diagramme de Bode: phase Exemple (seul): Dephasage a basse frequence Pole/Zero Frequence/10 et Frequence*10 Tracer lignes

Diagramme de Bode: phase Zero: +45 degres/decade Pole: -45 degres/decade Commence 1 decade AVANT pole/zero Finit 1 decade APRES pole/zero

Diagramme de Bode: phase Decompose en 2 morceaux (precision du graphique)