12- Calcul du PGCD Algorithme des différences Soit 2 nombres : 30 et 24 2 est un diviseur commun à ces 2 nombres. 30 – 24 = 2 15 – 2 12 = 2 (15 – 12) = 2 3 2 est aussi un diviseur de leur différence ! Les diviseurs communs de a et b sont aussi les diviseurs de leur différence a – b. Exemple Trouver le PGCD de 30 et 24 par l’algorithme des différences.
Algorithme d’Euclide a b a - b 30 24 6 24 6 18 18 6 12 12 6 6 6 6 30 PGCD(30;24) = 6 (dernière différence non nulle) 12 6 6 6 6 Algorithme d’Euclide 30 24 30 = 24 1 + 6 6 1
(dernier reste non nul) 6 = 30 – 24 1 2 est un diviseur commun à 30 et 24, donc 2 est aussi un diviseur du reste de la division euclidienne de 30 par 24. 6 = 2(15 – 12 1) Les diviseurs communs de a et b sont aussi les diviseurs du reste r dans la division euclidienne de a par b si a > b. Exemple Trouver le PGCD de 30 et 24 par l’algorithme d’Euclide. a b reste PGCD(30;24) = 6 (dernier reste non nul) 30 24 6 24 6
FIN Nombres premiers entre eux Simplification de fractions Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1. Exemple Diviseurs de 8 : Diviseurs de 3 : PGCD(8;3) = 1 – 2 – 4 – 8 1 – 3 1 donc 8 et 3 sont premiers entre eux. Simplification de fractions Une fraction est irréductible si numérateur et dénominateur sont premiers entre eux. Donc, pour simplifier une fraction, on divise numérateur et dénominateur par leur PGCD. FIN