Modèles à surface libre: les apports du calcul direct de sensibilité au calage et à l’analyse d’incertitude Vincent Guinot, Carole Delenne Université Montpellier 2 / Polytech’Montpellier HydroSciences Montpellier GIS HED2 - décembre 2012

Les deux grandes pathologies de la modélisation Variable u Insensibilité Grandes variations de v  variations de u négligeables Inversion de modèle difficile… … et dangereuse (valeurs de v irréalistes, jeux admissibles de paramètres non uniques, etc.) Paramètre v Sensibilité s Paramètre v

Les deux grandes pathologies de la modélisation Variable u Hypersensibilité Petite variation de v  grande variation de u Caractère prédictif du modèle: douteux En général: le signe d’une paramétrisation « cachée » (contrôle par plusieurs paramètres et non un seul) Inversion du modèle (calage): difficile Paramètre v Sensibilité s Paramètre v

La sensibilité: une dérivée directionnelle Modèle hydrodynamique (ex. Saint-Venant): un jeu d’EDP Intérieur du domaine Conditions initiales Conditions aux limites Perturbation du paramètre v sous la forme => Perturbation de la solution: u → u’ Sensibilité: dérivée directionnelle (Gateaux) [1] [1] Cacuci, Uncertainty Analysis, 2003

La sensibilité: une dérivée directionnelle Passage à la limite  équations en sensibilité Intérieur du domaine Conditions initiales Conditions aux limites Approche continue: résolution des équations en sensibilité La formulation reste valide même dans le cas de solutions discontinues si l’on se place dans le cadre de la théorie des distributions [1] Dans le cas des modèles Saint-Venant 1D et 2D: le modèle en sensibilité est hyperbolique (dégénéré) [2, 3]  problèmes de précision numérique au voisinage des points critiques et des chocs [4] (seuls les schémas « upwind » semblent suffisamment robustes [5]) [1] Bardos & Pironneau, CRAS, 2002 [2] Delenne & al., CRAS, 2008 [3] Guinot & al., advances in Water Resources, 2009 [4] Gunzburger, IJNMF, 1999 [5] Guinot & Delenne, Computers & Fluids, 2012

La sensibilité: une dérivée directionnelle Approche discrète (empirique) résoudre numériquement les équations hydrodynamiques puis dériver la solution numérique Simple d’emploi, nombreuses techniques disponibles Il n’est pas nécessaire de connaître les équations du modèle Présente souvent des artefacts numériques [1] Sensibilité empirique du champ de vitesse à la cote aval [1] Guinot & al, Adv. in Water Resources, 2009

Modèles Saint Venant 1D en régime permanent Equation hydrodynamique: Si 𝜔= ℎ ds alors b=0 x h L hn hds Equation en sensibilité: EDO du premier ordre [1] x h L 1 Propagation de l’influence de la hauteur aval sur une longue distance [1] Guinot & Cappelaere, J. Hydrol. Engng (ASCE), 2009

Modèles Saint Venant 1D en régime permanent Equation hydrodynamique: Si 𝜔= 𝑛 𝑚 alors b≠0 x h L hn hds Equation en sensibilité: EDO du premier ordre [1] x h L e ≠ 0 Décroissance quasi-exponentielle avec x  il existe une taille de bief optimale pour le calage par morceaux des paramètres de frottement [1] [1] Guinot & Cappelaere, J. Hydrol. Engng (ASCE), 2009

Modèles Saint Venant 1D en régime permanent Sensibilité locale  calculée autour d’un paramètre nominal Mais: le caractère constant par morceaux de la sensibilité semble assez bien vérifié pour des sections de forme arbitraire [1]  ces résultats devraient pourvoir être généralisés z Q [1] A. Mosca, étude en cours (Polytech’M 5ème année)

Modèles Saint Venant 2D en régime permanent Equation en sensibilité [1] Sensibilité à une variation de topographie Sensibilité de h et ux Ecoulement Régime fluvial Equation de diffusion anisotrope Propagation préférentielle: direction transversale La direction de propagation n’est pas la même selon la variable que l’on considère 10 Sensibilité de uy [1] Guinot & Cappelaere, Advances in Water Resources, 2009

Modèles Saint Venant 2D en régime permanent Equation en sensibilité [1] Sensibilité à une variation de topographie Régime torrentiel Equation de propagation (hyperbolique) en (x, y) Propagation préférentielle: fonction du nombre de Froude Fr Ecoulement  Adapter le calage au régime d’écoulement et aux variables utilisées [1] Guinot & Cappelaere, Advances in Water Resources, 2009

Comportement 1D / 2D Modèle 1D [1] Sensibilité: EDO quasi-linéaire d’ordre 1  décroissance approximativement exponentielle avec la distance Distances caractéristiques en régime fluvial: 103 ; torrentiel: 102 m fluvial torrentiel Modèle 2D [2] Sensibilité: EDP d’ordre 2 (elliptique en fluvial, hyperbolique en torrentiel) Distance caractéristique: quelques mètres en fluvial Topographie: effet très important mais très local Frottement: effet faible, demande des distances importantes Conditions aux limites: effet rapidement dissipé par les carrefours (2D) [1] Guinot & Cappelaere, J. Hydrol. Engng (ASCE), 2009 [2] Guinot & Cappelaere, Advances in Water Resources, 2009

Sensibilité et Incertitude Analyse globale Densité de probabilité supposée pour le(s) paramètre(s) incertain(s) Descripteurs statistiques de la distribution de sortie (e.g. moyenne et variance) N simulations m s2 Modèle Estimateurs de la moyenne et de la variance 𝝁(𝑥,𝑡)= 1 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝒖(𝑥,𝑡;𝝎) Vecteur des paramètres Solution du modèle 𝝈 2 𝑥,𝑡 = 1 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝒖 2 − 𝝁 2 Cet estimateur permet de ne pas stocker tous les résultats mais peut conduire localement à une valeur négative de 𝝈 2  Le nombre N de simulations doit être grand

Sensibilité et Incertitude Utilisation de la sensibilité locale comme approximation linéaire de la réponse du modèle Résolution des équations du modèle et en sensibilité pour une valeur nominale du paramètre 𝜔 : 𝜔 Estimation de la moyenne: 𝝁= u =u 𝜔 ,𝒙,𝑡 Développement au 1er ordre u 𝜔,𝒙,𝑡 = u + 𝜔− 𝜔 s Moment d’ordre 2: estimation de la variance partielle pour un paramètre Estimation de la variance totale pour p paramètres 𝝈 𝒊 𝟐 = s 𝒊 2 𝝈 𝜔𝑖 2 P paramètres indépendants, sinon ajouter les covariances 𝝈 𝟐 = 𝑖=1 𝑝 s 𝒊 2 𝝈 𝜔𝑖 2

Modèles Saint Venant 1D transitoire q(t) nM S0 Canal rectangulaire Propagation d’une onde de crue : incertitude sur le débit max qmin qmax Analyse globale: 1000 simulations d’une loi uniforme avec 𝑞 max ∈[ 𝑞 ±Δ 𝑞 ] Analyse locale: 1 simulation avec calcul direct d’incertitude ou 2 simulations avec calcul empirique Δ 𝑞 =0.5 𝑞 𝜀 𝑋 = 1 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝑋 𝐺 ( 𝑥 𝑖 )− 𝑋 𝐿 ( 𝑥 𝑖 ) 𝑋 𝐺 ( 𝑥 𝑖 ) [1] Delenne & al., Reliability Eng. & System Safety, 2012

Modèles Saint Venant 1D transitoire Paramètres Intervalle s 4 paramètres incertains indépendants Moyenne Variance Variances partielles 𝜎 𝑖 2 𝜔= 𝑞 𝑚𝑎𝑥 𝜔= 𝑇 𝑓 𝜔= 𝑆 0 𝜔= 𝑛 𝑀

Conclusions Utilisation de la sensibilité locale: Pour le calage: hiérarchisation des paramètres à caler détermination de la taille de bief optimale pour le calage du coefficient de rugosité, utilisation dans le processus de maximisation de la fonction objectif [1] Pour l’analyse d’incertitude: Malgré une forte non linéarité des équations « shallow water » (canal rectangulaire): estimation correcte de la variance totale et des variances partielles (même pour des paramètres corrélés) Validation de la méthode en cours pour des sections arbitraires [1] Guinot & al., J. of Hydrology, 2011

Modèles à surface libre: les apports du calcul direct de sensibilité au calage et à l’analyse d’incertitude Vincent Guinot, Carole Delenne Université Montpellier 2 / Polytech’Montpellier HydroSciences Montpellier GIS HED2 - décembre 2012

Modèle Saint Venant 1D transitoire Importance du nombre de simulation pour la méthode globale 𝜔= 𝑞 𝑚𝑎𝑥 Variance partielle pour différentes valeurs de N 10 réplicas de la variance partielle avec N=1000 simulations

Modèle Saint Venant 1D transitoire Paramètres corrélés: loi de tarage h(q)