2ème secondaire

Chapitre (2) Calcul différentiel Règles de dérivation : Si f(x) = c où c est une constante, alors f'(x) = 0. Si f(x) = xn, alors f'(x) = n xn - 1.où n  R. Notre Dame de la Délivrande Héliopolis Règle de dérivation de la somme et de la différence: Si f, g, h, … sont des fonctions dérivables, alors (f (x) ± g (x) ± h (x) ± …… ) = f '(x) ± g' (x) ± h' (x) ± …… )

Chapitre (2) Calcul différentiel Règle de dérivation du produit de deux fonctions dérivables : Si y = f(x) × g (x) telles que f et g sont des fonctions dérivables, alors = f’(x) × g(x) + g’(x) × f(x) Notre Dame de la Délivrande Héliopolis Dérivée du produit = (dérivée de la 1ère fonction) × 2ème fonction + (dérivée de la 2ème fonction) × 1ère fonction

Chapitre (2) Calcul différentiel Exemple (1) : Déterminer y’ : (1) y = (x + 2)(2x – 1) (2) y = (3x5 + 2x + 5)(x – 5) Notre Dame de la Délivrande Héliopolis Solution : (1) y = (x + 2)(2x – 1) f(x) = (x + 2) ------- f’(x) = 1 début g(x) = (2x – 1) ------- g’(x) = 2 On a y = f’(x)  g(x) + g’(x)  f(x) Donc y’ = 1  (2x - 1) + 2  (x + 2) Donc y’ = 2x - 1 + 2x + 4 = 4x + 3

Chapitre (2) Calcul différentiel Autre Solution : On développe les parenthèses, puis on calcule la dérivée première Notre Dame de la Délivrande Héliopolis (1) y = (x + 2)(2x – 1) y = 2x2 + 3x – 2 Donc y’ = 4x + 3

Chapitre (2) Calcul différentiel Solution : (2) y = (3x5 + 2x + 5)(x – 5) f(x) = (3x5 + 2x + 5) ------- f’(x)= (15x4 + 2) Notre Dame de la Délivrande Héliopolis début g(x) = (x – 5) ------- g’(x) = 1 On a y = f’(x)  g(x) + g’(x)  f(x) Donc y’ = (15x4 + 2)  (x - 5) + 1  (3x5 + 2x + 5) Donc y’ = 15x5 + 2x - 75x4 - 10 + 3x5 + 2x + 5 y’ = 18x5 - 75x4 + 4x - 5

Chapitre (2) Calcul différentiel Autre Solution : On développe les parenthèses, puis on calcule la dérivée première Notre Dame de la Délivrande Héliopolis 2 1 (2) y = (3x5 + 2x + 5)(x – 5) 6 4 5 3 Donc y = 3x6 - 15x5 + 2x2 – 10x + 5x - 25 y’ = 18x5 - 75x4 + 4x – 10 + 5 y’ = 18x5 - 75x4 + 4x – 5

Chapitre (2) Calcul différentiel Exemple (2) : Déterminer la pente des tangentes à chacune des courbes d’équations suivantes aux points donnés Notre Dame de la Délivrande Héliopolis a) y = (x – 1)(x + 2) en x = 3 b) y = en x = 1 Solution : a) y = (x – 1)(x + 2) f(x) = (x - 1) ------- f’(x)= 1 début g(x)= (x + 2) ------- g’(x)= 1 On a y = f’(x) . g(x) + g’(x) . f(x) Donc y’ = 1  (x + 2) + 1  (x – 1) y’ = x + 2 + x - 1 = 2x + 1 en x = 3 La pente = 2 x 3 + 1 = 7

Chapitre (2) Calcul différentiel Solution : b) y = en x = 1 Notre Dame de la Délivrande Héliopolis f(x)= (x1/2 + x-1/2) ---- f’(x) = (½ x-1/2 – ½ x-3/2) début g(x) = (x1/2 - x-1/2) ---- g’(x) = (½ x-1/2 + ½ x-3/2) On a y = f’(x) x g(x) + g’(x) x f(x) y’ = (½ x-1/2 – ½ x-3/2)(x1/2 - x-1/2) + (½ x-1/2 + ½ x-3/2)(x1/2 + x-1/2) La pente = (½ x 1-1/2 – ½ x 1-3/2) (11/2 - 1-1/2) + (½ x 1-1/2 + ½ x 1-3/2)(11/2 + 1-1/2) = 2

Chapitre (2) Calcul différentiel Notre Dame de la Délivrande Héliopolis Devoir page 35 n 1(a, b, c, d, e)