Chapitre 3: Les fonctions rationnelles MHF4U

3.1: L’inverse d’une fonction affine Comment décrire la fonction suivante?

Vocabulaire * Hyperbole: Courbe avec points pour lesquels la différence de distance à 2 points fixes (foyers) est égale. http://www.alloprof.qc.ca/BV/Pages/m1329.asp x Asymptote: Droite vers laquelle tend le graphique, sans jamais y toucher.

Inverse d’une fonction affine * 𝐹 𝑥 = 1 𝑘𝑥−𝑐 Restriction du domaine: kx - c ≠ 0 Asymptote verticale: lorsque kx – c = 0 Asymptote horizontale: y = 0

Exemple #1 (p.149) Soit la fonction 𝑓 𝑥 = 1 2𝑥−1 Détermine le domaine. Décris le comportement de la fonction près de l’asymptote verticale. Décris le comportement à l’infini. Trace le graphique de la fonction. Détermine l’image.

Votre tour: Soit la fonction 𝑓 𝑥 = 1 3𝑥+4 Détermine le domaine. Décris le comportement de la fonction près de l’asymptote verticale. Décris le comportement à l’infini. Trace le graphique de la fonction. Détermine l’image.

Pente croissante vs décroissante Sur quel intervalle la pente est-elle: Positive? Négative? Croissante? Décroissante?

Exercice #7a) (ensemble) Détermine le domaine, l’image, les équations des asymptotes et l’ordonnée à l’origine. Ensuite, trace son graphique. 𝑓 𝑥 = 1 𝑥−1

Exercice #7b) (vous) Détermine le domaine, l’image, les équations des asymptotes et l’ordonnée à l’origine. Ensuite, trace son graphique. 𝑓 𝑥 = 1 2𝑥+1

Votre tour! P.153 #1 a-b, 2 a-b, 3 a-b, 7 b-c

3.2: L’inverse d’une fonction du second degré

Comment décrire la fonction suivante?

Questions Où sont les asymptotes? Quel est le comportement du graphique à gauche et à droite de chaque asymptote verticale? Quel est le comportement de la pente (positive ou négative) à gauche de la première asymptote verticale? À droite de la deuxième asymptote verticale?

Indique et explique la différence entre A et B. 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 2 𝑔 𝑥 = 1 (𝑥−1)(𝑥+2)

Indique et explique la différence entre A et B. 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 2 𝑔 𝑥 = 1 (𝑥−1)(𝑥+2) 1 asymptote Aucun max/min local 2 asymptotes Max/min local

Comment prédire l’abscisse (x) du max/min local? Exemple #1 Exemple #2 Asymptotes: x = 2, -1 Maximum local: x = -0.5 Asymptotes: x = 4, 0 Maximum local: x = -2

Notes * Le graphique de l’inverse d’une fonction de second degré qui admet 2 zéros a: 3 parties Partie centrale a un max/min local. Ce max/min local est à égale distance des asymptotes verticales.

Exemple #1 Soit la fonction 𝑓 𝑥 = 2 ( 𝑥 2 −4) . Indique le domaine. Décris le comportement asymptotes et le comportement de la fonction près d’eux. Détermine les coordonnées à l’origine. Trace un graphique. Indique l’image.

À votre tour Manuel p.165 #5a)

Devoir P.165 #1a), 2b)-c), 3c), 5b)-c), 11

3.3: Fonctions rationnelles de la forme 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥+𝑏 𝑐𝑥+𝑑

Quel est le rôle de b? 𝒇 𝒙 = 𝒙−𝟏 𝟐𝒙+𝟓 𝒈 𝒙 = 𝒙−𝟓 𝟐𝒙+𝟓

Rôles des coefficients * A B Étirer la courbe sans modifier les asymptotes, le domaine ou l’image. C D

Quel est le rôle de d? 𝒇 𝒙 = 𝒙−𝟏 𝟐𝒙+𝟓 𝒈 𝒙 = 𝒙−𝟓 𝟐𝒙+𝟏𝟎

Rôles des coefficients * A B Étirer la courbe sans modifier les asymptotes, le domaine ou l’image. C D Déplace l’asymptote verticale.

Quels sont les rôles de a et d? 𝒇 𝒙 = 𝒙−𝟏 𝟐𝒙+𝟓 𝒈 𝒙 = 𝟒𝒙−𝟏 𝟐𝒙+𝟓

Comment l’expliquer algébriquement? Voir tableau.

Rôles des coefficients * A Avec C, déplace l’asymptote horizontale. B Étirer la courbe sans modifier les asymptotes, le domaine ou l’image. C Avec A, déplace l’asymptote horizontale. D Déplace l’asymptote verticale.

À votre tour Décris le comportement à l’infini (c’est-à-dire lorsque 𝑥→±∞) de chaque fonction. 𝑓 𝑥 = 𝑥−1 𝑥+3 𝑔 𝑥 = 2𝑥 4𝑥−7 ℎ 𝑥 = 3−𝑥 2+𝑥

Votre tâche P.174 #5-6-7-8-9

3.4: La résolution d’équations et d’inéquations rationnelles

Équations: Exemple #1a (p.177) Résous. 4 3𝑥−5 =4

Équations: À ton tour Résous. 4 𝑥−2 =3

Équations: Exemple #1b) Résous. 𝑥−5 𝑥 2 −3𝑥−4 = 3𝑥+2 𝑥 2 −1

Équations: À ton tour Résous. 𝑥−3 𝑥−4 = 𝑥+2 𝑥+6

Pour résoudre une équation * Factoriser numérateur et dénominateur. Multiplier par dénominateurs. Simplifie. Mettre tous les termes d’un côté. Trouver zéros en factorisant ou formule quadratique.

Inéquations: Exemple #4 Résous. 𝑥 2 −𝑥−2 𝑥 2 +𝑥−12 ≥0

Inéquations: À ton tour Résous. 𝑥 2 +9𝑥+14 𝑥 2 −6𝑥+5 >0

Exercice #7 (p.184) Résous 𝑥 𝑥+1 < 2𝑥 𝑥−2 en représentant graphiquement les fonctions f x = 𝑥 𝑥+1 et g x = 2𝑥 𝑥−2 sans l’aide d’outils technologiques. Détermine le point d’intersection algébriquement et les valeurs de x pour lesquelles f(x) < g(x).

Exercices P.184 #5 b-c-d, 8, 12

3.5: Les liens avec la vie courante

Exemple #1 (p.186) L’intensité sonore (en watts par mètre carré) est inversement proportionnelle au carré de la distance (en mètres) de la source du son. L’intensité sonore d’un haut-parleur placé à une distance de 2 m est de 0,001 W/m2. Détermine une fonction pour représenter cette relation. Représente graphiquement cette fonction. Quel sera l’effet sur l’intensité sonore si l’on coupe de moitié la distance de la source du son?

À ton tour! (p.189 #1) L’intensité lumineuse est inversement proportionnelle au carré de la distance de la source lumineuse. Elle est modélisée par la formule 𝐼= 𝑘 𝑑 2 , où I est l’intensité (en lux), d est la distance (en mètres) de la source et k, une constante. À une distance de 50 m d’une source lumineuse donnée, l’intensité est de 6 lux. Trace un graphique de cette relation. Décris le comportement de l’intensité lumineuse à mesure que la distance augmente. Décris le comportement de l’intensité lorsque les valeurs de d s’approchent de zéro.

Exemple #2 (p.187) Le temps maximal T (en minutes) pendant lequel un plongeur en scaphandre peut monter, sans arrêt de décompression durant sa remontée en surface, se définit par l’équation 𝑇 𝑑 = 525 𝑑−10 , 𝑑> 10, où d est la profondeur de plongée (en mètres). Quelle doit être la profondeur de plongée pour que le temps maximal ne dépasse pas 30 min?

À ton tour! (p.189 #2) Selon la loi de Boyle, à une température constante, le volume d’un gaz varie en raison inverse de la pression exercée sur ce gaz. Un réservoir contient 10 L de gaz hydrogène à une pression de 500 kPa. Détermine une fonction qui établit le lien entre le volume et la pression exercée sur ce gaz. Trace un graphique de cette relation en calculant le volume du gaz à différentes pressions atmosphériques. Quel sera l’effet sur le volume du gaz si tu doubles la pression?

Exemple #3 (p.188) Représente graphiquement chaque fonction. Quelle est la particularité de ces fonctions? 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −𝑥−6 𝑥+2 (avec moi) 𝑔 𝑥 = 2 𝑥 2 −7𝑥−4 2 𝑥 2 +5𝑥+2 (seul)

À ton tour P.190 #4