Variations sur un thème pour l’option Sciences de seconde Son et Musique Variations sur un thème pour l’option Sciences de seconde F Geniet 06/07

Quelques considérations acoustiques Partiels et Harmoniques Un système simple à partiels k m 2 modes :

Deux exceptions notables : les tuyaux sonores et les cordes vibrantes Le mouvement n’est en général pas périodique (mathématiquement, c’est un tore avec deux fréquences incommensurables). Ce sont des partiels NB : Pour un physicien, c’est simple à expliquer : la relation de dispersion est non linéaire, et les vecteurs d’onde sont quantifiés par la boite Ce cas de figure est en fait général : cavités, plaques, barres… ne vibrent pas de façon harmonique Deux exceptions notables : les tuyaux sonores et les cordes vibrantes sont en première approximation harmoniques. Ce sont des systèmes 1 dimensionnels (quasi) infinis. les fréquences des partiels sont multiples de la fréquence du fondamental.

Cordes vibrantes. Dans ce cas, la relation de dispersion est linéaire, et les modes sont harmoniques. On se les représente souvent comme cela :

Mais en réalité, avec la magie des cosinus, la vibration de la corde ressemble plutôt à Ce qui se comprend mieux comme la somme de deux ondes se propageant à droite et à gauche à vitesse c : +c -c

Le cas du violon est très semblable Le cas du violon est très semblable. Le mouvement observé s’appelle vibration de Helmholtz : En regardant bien, on comprend pourquoi l’intensité du son du violon augmente avec la vitesse de l’archet (et pas avec la pression sur la corde !) : En effet l’oscillation se déplace à vitesse c fixée le long de la corde. Pendant ce temps t, l’archet (et la corde en phase « stick ») se déplace de vt

Conclusion : Au moins deux grandes familles cordes et vents, archétypes des instruments produisant des sons musicaux, sont basés sur la série harmonique. Cela justifie l’importance de la série harmonique dans la construction des gammes, et en particulier le rôle essentiel de la première harmonique non triviale : la quinte fquinte = 3 ffondamental

Harmoniques et Consonance Les sons musicaux sont très riches en harmoniques (ou partiels) : Remarquer l’incompatibilité apparente de ce graphique avec Dw DT > 1 !

Consonance Dans le cas où les sons produits sont harmoniques, on a une idée simple de consonance de deux sons : c’est l’absence de battements entre les différentes harmoniques des sons. Dans la réalité, on va voir qu’il est impossible d’obtenir une absence de battements. La notion de consonance semble donc en définitive liée à l’absence ou à la lenteur des battements entre les différents sons.

Intervalles et Gammes Plusieurs logiques en conflit : Physique  Physiologie Mélodie  Harmonie Consonance  Transposition non limitée

Intervalles et Gammes intervalle de quinte : f1 / f0 = 3 / 2 Les intervalles harmoniques sont construits sur des rapports de fréquences simples : octave (2) , quinte (3) , tierce (5) … L’intervalle d’octave définit une relation d’équivalence. On passe au quotient pour identifier les notes. intervalle de quinte : f1 / f0 = 3 / 2 Depuis l’antiquité, les harmoniques, et la quinte en particulier, apparaissent comme indissociable de la justesse musicale (consonance des harmoniques)

Intervalles et Gammes mesure des intervalles suivant I = K log(f2/f1). Savarts : K = 1000 et log10 1 octave = 301.03 Savarts Cents : K = 1200 et log2 1 octave = 1200 Cents Fréquences de la gamme chromatique bien tempérée théorique : fi = f0 2 i/12 Les intervalles sont égaux dans cette construction, mais… 1200 log2(3/2) = 701.955  700 Intervalles harmoniques et gamme bien tempérée sont en conflit !

Constructions de la gamme de Pythagore à partir des quintes justes : fn = f0 (3/2)n ( n = -6 …5 ) Do Ré Mi Fa Sol La Si Réb Mib Solb Lab Sib Gamme bien tempérée théorique Et les dièses ? Solb Fa# Do Réb Do# Ré Mibb Ré# Mib Fab Mi Fa Mi# Sol Labb Sol# Lab La# Sibb Sib La Si Dob Comma de Pythagore

Et si on continue le cycle des quintes ? On fabrique une gamme 53 tonique, connue des chinois et qui donne la division du demi ton en 4 ou 5 commas : Do Réb Ré Mib Mi Fa Solb Sol Lab La Sib Si 13 25 37 49 53 50 52 12 1 51 Il y a donc des grands et des petits demi tons, …mais chaque ton contient 9 comas Remarque : ça ne boucle toujours pas, malgré les apparences ! En effet, 353 = 19383245667680019896796723 284 = 19342813113834066795298816

construction de la Gamme de Zarlin. Gamme de Pythagore Gamme de Zarlino Ré 9/4 Sol 3/2 Si 15/16 1 Do Mi 5/4 3/2 Sol Fa 4/3 La 5/3 Do 2 (1) Les physiciens acousticiens disent que c’est « la gamme naturelle » …mais les musiciens ne sont pas du tout d’accord : A part l’aspect mathématiquement esthétique des fractions simples, cette gamme est fausse, on ne peut pas construire simplement les notes chromatiques et la transposition est quasi impossible… …mais on continue à s’y référer!

Conclusion : A travers ces quelques remarques simples, on voit que le problème de produire des instruments justes est en réalité très complexe, et doit concilier plusieurs logiques en apparence opposées. Ce domaine n’est pas clos comme le montrent par exemple le renouveau apporté par les travaux de Serge Cordier sur la question de justesse et la pratique de l’accord du piano. Il est cependant dommage que les travaux mathématiques sur la musique se contentent souvent de visions très schématiques, peu pertinentes dans ce domaine où les connaissances ont étés élaborées de façon empirique, mais sûre, depuis des millénaires.