Arguments mathématiques Gamme de Pythagore Arguments mathématiques

Gamme de Pythagore : Arguments mathématiques Le Cycle des quintes « ne se ferment » que si il existe 2 nombres entiers N et P tels que N quintes = P octaves ou encore 1,5 N = 2 P. -1- Pourquoi 1,5 N = 2 P n’a pas de solution. -2- Solutions approchées de 1,5 N = 2 P. -3- Mesure des intervalles en fraction d’octave. -4- Mesure des intervalles en degré (gamme circulaire).

Gamme de Pythagore : Arguments mathématiques 1,5 N = 2 P a-t-elle des solutions entières ? 1,5 N = 2 P  (3/2) N = 2 P  3 N = 2 P+N 3 N est un nombre impair (produit de facteurs 3) 2 P+N est un nombre pair (produit de facteurs 2) Il ne peut donc y avoir d’égalité entre 3 N et 2 P+N L’équation 1,5 N = 2 P n’a donc pas de solutions entières

Gamme de Pythagore : Arguments mathématiques Solutions approchées de 1,5 N = 2 P Empiriquement, on peut constater en examinant les puissances successives de 1,5 et 2 que les meilleures approximations sont: 1,5 5  7,59 et 2 3 = 8 Cela donne la gamme pentatonique Erreur  0,41 / 8  5% 1,5 12  129,7 et 2 7 = 128 Cela donne la gamme de Pythagore Erreur  1,7 / 128  1,3% 1,5 41  16585998,5 et 2 24= 16777216 Cela donne une gamme de 41 notes Erreur  1,1%

Gamme de Pythagore : Arguments mathématiques MESURE DES INTERVALLES On choisit donc la gamme de Pythagore: 12 quintes  7 octaves. La différence sera le COMMA. 12 quintes > 7 octaves (1,5 12  129,7 et 2 7 = 128) 1 comma = 12 quintes - 7 octaves Le coefficient multiplicateur du comma est donc: 1,5 12 / 2 7 = 3 12 / 2 19  1,0136432… 1 octave contient combien de comma? 1 octave = x comma Il s’agit de trouver x tel que (3 12 / 2 19 ) x = 2. En passant par les logarithmes: x Log (3 12 / 2 19 ) = Log (2) Cela donne : x = Log (2) / Log (3 12 / 2 19 )  51,1508725 On a donc: 1 octave = 51,1508725… comma

Gamme de Pythagore : Arguments mathématiques MESURE DES INTERVALLES De la même façon, on calcule combien une quinte contient de comma: 1 quinte = x comma Il s’agit de trouver x tel que (3 12 / 2 19) x = 1,5. En passant par les logarithmes: x Log (3 12 /2 19 ) = Log (1,5) Cela donne : x = Log (1,5) / Log (3 12 / 2 19)  29,9213423 On a donc: 1 Octave = 51,1508725… comma 1 Quinte = 29,9213423… comma Ecrit autrement: 1 comma = 1 / 51,1508725…= 0,01955001…Octave 1 Quinte = 29,9213423… / 51,1508725…= 0,5849625…Octave

Gamme de Pythagore : Arguments mathématiques MESURE DES INTERVALLES EN DEGRE Sur la gamme circulaire, 1 octave mesure 360° 1 quinte mesure 0,5849625 octave soit en degré 360 x 0,5849625  210,5865: 1 quinte  210,5865° 1 comma mesure 0,019550001 octave soit en degré 360 x 0,019550001  210,5865: 1 comma  7,03800312° De la même façon, on mesure les autres intervalles: