Chapitre VI :Description interne des systèmes linéaires invariants (SLI) - Représentation d’état VI-1 Introduction VI-2 Représentation d’état VI-3 Obtention des équations d’états VI-4 Solution générale des équations d'états VI-5 Expression de la transmittance en fonction de la représentation d'état ( Matrice de transfert) VI-6 Représentation d'état d'un système échantillonné VI-7 Commandabilité et Observabilité d’un SLI

VI-1 Introduction Nous allons dans les chapitres VI et VII introduire un nouvel outil pour l’étude des systèmes : LA REPRESENTTION D’ETAT Cet outil utilise l’algèbre linéaire (calcul matriciel) dont les principaux avantages sont : Un même formalisme pour les systèmes analogiques ou échantillonnés. Un même formalisme pour les systèmes mono- ou multi-variable. Une analyse interne des systèmes. L’utilisation généralisée de l’ordinateur. VI-2 Représentation d’état Prenons par exemple un système d’ordre n : n équations du 1er ordre + s=f(e,x) équation différentielle d’ordre n e s Equation d’état Equation d’observation

A : matrice de dynamique ou matrice d’état B : matrice de commande p : entrées q : sorties avec : n A : matrice de dynamique ou matrice d’état B : matrice de commande C : matrice d’observation D : matrice de transfert direct n p n A, B, C et D constitue la représentation d’état n q p D sera nulle pour un système physique réel q Exemple 1 1er Ordre variable d’état : v (tension aux bornes du condensateur) C équation d’observation : v e s R équation d’observation :

K Amortissement (f) M Exemple 2 : 2ème Ordre y e(t) Equation du mouvement : Pour un système le vecteur d'état n'est pas unique : il existe une infinité de représentation pour un même système. Prenons les variables suivantes : On prend pour variables celles qui définissent les CI

Exemple 3 : d1 d2 h1 h2 S1 S2 q2 q1

VI-3 Obtention des équations d’états VI-3-1 Cas Continu directement (voir exemples précédent) A partir de la transmittance Principe : Transmittance  schéma bloc variables d'états = sortie des intégrateurs réécrire n équations différentielles du 1er ordre 1ère Réalisation Compagne (Matrice de commandabilité) On part de la forme normalisée : On peut poser : et On revient maintenant dans le domaine temporel : et

Schéma de la transmittance : + + + + s(t) + + + + an an-1 an-2 a1 a0 + + x(n) x(n-1) x(n-2) x’ 1/p 1/p 1/p e(t) x(t) xn xn-1 x2 x1 - bn-1 bn-2 b1 b0 + + + + + + Intégrateur

Equation d'état : Equation d'observation : 1ère Forme Compagne Si D=O et

2ème Réalisation Compagne (Matrice d'observabilité) On part de la forme normalisée :

Schéma de la transmittance : e(t) a0 an-2 an-1 an + + + + xn x2 x1 1/p 1/p 1/p s(t) - - - b0 bn-2 bn-1 Equation d'observation :

Equation d'état : 2ème Forme Compagne Si D=O et

Réalisation Diagonale ou modale ou de Jordan Ici on va décomposer la transmittance F(p) en éléments simples. Cas de n pôles simples Intégrateur graphe e(t) pi + xi Donc le graphe de F(p) sera décrit par une succession de ces graphes élémentaires

+ e(t) an s(t) + + x1 + r1 + + p1 + xn + rn + + Equation d'observation : pn Equation d'état :

Cas d'un pôle multiple : p1 d'ordre  Quel est le graphe de + + + E(p) + + + p1 p1 p1  cellules Le graphe de sera la cascade de -1 cellules Donc le graphe final sera

+ e(t) an s(t) +  + + + -1 + x x-1 x1 + + + + 1 + + + + p1 p1 p1 + x+1 + r+1 + + p+1 + + + xn rn + pn

Equation d'état : Bloc de Jordan -1  Equation d'observation :

Exemple : Soit la transmittance suivante : 1ère Réalisation compagne : 2ème Réalisation compagne :

Réalisation Modale :

VI-3-2 Cas Discret Equation d’état Continu : Equation d’observation D + + x + e(t) B C s(t) + A Equation d’état Discret : Equation d’observation D Retard d'un échantillon = + + + ek B C sk + A

VI-4 Solution générale des équations d'états VI-4-1 Cas Continu Equation d’état Solution = Solution générale sans entrée (e=0) + Solution particulière avec entrée (e) a - Solution générale sans entrée (e=0) où t0 est l'instant initial La matrice s'appelle la matrice de transition d'état Propriétés de  :

Calculs de  : Par le calcul de la série : Si A est diagonale : Par la transformée de Laplace : La méthode consiste donc à calculer la matrice puis à prendre la transformée de Laplace inverse de chacun des termes de la matrice

Par le théorème de Caley-Hamilton : Le théorème exprime que toute matrice carrée A est solution de l'équation caractéristique : Donc : An s'exprime donc en combinaison linéaire de I,A, A2, …, An-1. Il en découle que le développement : est limité au degré n-1 : Les coefficients i vérifient pour chaque valeur propre i l'équation : b - Solution particulière pour e0 On utilise la technique classique de variation de la constante, donc on cherche une solution particulière de la forme :

on sait que : Donc la solution est : Généralement on peut toujours se ramener à t0=0 : Si de plus on a e(t) causale :

c – Réponse Forcée et Réponse Impulsionnelle VI-4-2 Cas Discret a – Régime libre b – Solution Globale

Si e est causale c – Réponse Forcée et Réponse Impulsionnelle Calcul de Ak : Prenons la TZ de (1) :

En utilisant les deux expressions connues de xk on obtient : VI-5 Expression de la transmittance en fonction de la représentation d'état ( Matrice de transfert) On considère le système suivant : e est de taille p s est de taille q n ordre du système En prenant la TL :

Réalisation à l'aide d'une des trois méthodes décrites p q Dans le cas général F(p) sera une matrice : Remarque importante: Les éléments de la matrice ont tous le même dénominateur égale à : Donc les valeurs propres de la matrice dynamique A sont solutions de l'équation et sont aussi les pôles de la transmittance VI-6 Représentation d'état d'un système échantillonné F(p) A,B, C, D s(t) T ek B0 sk F(Z) Ae, Be, Ce, De Réalisation à l'aide d'une des trois méthodes décrites

Calcul de Ae,Be, Ce, De : On sait que le système continu A, B, C, D a pour solution : On utilise un bloqueur d'ordre zéro donc e() est constant entre les instants k et k+1, et vaut ek Ae Be Ce De Si le système A, B, C, D est invariant  le système Ae, Be, Ce, De est invariant également  Donc Be ne dépend pas de k

VI-7 Commandabilité et Observabilité d’un SLI Définition : Commandabilité ou Gouvernabilité Un système d’équations est commandable à l’instant t0 si : Quelque soit les états x(t0) et x(t) pour t>t0, il existe une loi de commande e(t0 à t) capable de transférer le système de x(t0) à x(t). On dit donc que le système est commandable à l’instant t0 Le système est complètement commandable ou commandable s’il l’est quelque soit t0 (Cas des systèmes invariants) Définition : observabilité Un système A, B, C, D est observable à l’instant t0 : S’il existe un instant t> t0 tel que x(t0) puisse être déterminé à partir de la connaissance de s(t0 à t) quelque soit e(t). Le système est complètement observable ou observable s’il l’est quelque soit t0 (Cas des systèmes invariants)

VI-7-a Critère de Commandabilité Le système A, B, C, D est commandable si en représentation diagonale B n’a pas de ligne nulle. Si la ligne i de la matrice b est nulle implique que xi ne dépend d’aucunes entrées ej Critère général de Commandabilité On construit la matrice de commandabilité : Le système est commandable si C est de rang n ou encore s’il existe un déterminant n×n 0

VI-7-b Critère d’Observabilité Le système A, B, C, D est observable si en représentation diagonale C n’a pas de colonne nulle. Si la colonne j de la matrice C est nulle implique qu’aucunes des sorties (s1 à sq) ne dépendra de xj Critère général d’Observabilité On construit la matrice d’observabilité : Le système est observable si  est de rang n ou encore s’il existe un déterminant n×n 0

VI-7-c Deux cas de perte d’Observabilité 1 – Par échantillonnage (concerne les systèmes possédant au moins une paire de pôles complexes conjugués) Prenons l’exemple d’un deuxième ordre échantillonné par un bloqueur d’ordre zéro. Système continu s(t) T ek B0 sk 1ère Réalisation Compagne On constate bien que le système A, B, C, D est observable, car  est de rang 2 donc Observable Système échantillonné

1ère Réalisation Compagne Calculons le déterminant de  pour discuter de l’observabilité du système : La distance verticale entre les deux pôles complexes conjugués ne doit pas être un multiple de e 2 – Par compensation de pôles et zéros E S

Perte d’observabilité si un zéro est égale à un pôle 1ère Réalisation Compagne Perte d’observabilité si un zéro est égale à un pôle