Genèse des nombres complexes : Au siècle, les mathématiciens se sont aperçus que pour résoudre certains problèmes algébriques, ils étaient amenés à effectuer certaines « opérations interdites » sur les nombres réels. Pourtant, les méthodes en questions permettaient de trouver de manière efficace les solutions de certaines équations. Afin de « régulariser » cette situation, ils ont été amenés à créer un nouvel ensemble de nombres : XVIe
Le corps des nombres complexes
Le nombre imaginaire j j 2 = (- j 2) = - 1 On définit les nombres j et – j vérifiant: j 2 = (- j 2) = - 1
Forme algébrique des nombres complexes z = a + bj a : partie réelle du nombre complexe z b : partie imaginaire du nombre complexe z (a et b sont des nombres réels)
Le plan complexe M + z = a + jb Affixe du point M Ordonnée du point M: : Abscisse du point M
Module & Argument d’un nombre complexe M (z) + b ρ Module de z θ Argument de z a Notations: Module de z: |z| Argument de z: arg(z)
ρ 2 a 2 + b 2 = a = ρ cos (θ) b = ρ sin (θ)
Forme trigonométrique d’un nombre complexe z = ρ cos (θ) + j ρ sin (θ) z = [ ρ;θ ] Autre notation de la forme trigonométrique:
Conjugué d’un nombre complexe z = a + jb z = a - jb
(-z ) (z) (-z) ( z )
|z| = |z| arg (z) = - arg (z) zz = (a + jb)(a – jb) = |z|2
Addition de deux nombres complexes z et z’ M’’ ( z’’ = z + z’ ) + b + b’ + M (z) b M’ (z’) + b’ a a’ a + a’
z = a + jb z’ = a’ + jb’ z + z’ = (a + a) + j (b + b’)
Multiplication de deux nombres complexes z et z’ z=a+jb=[ρ;θ] z’=a’+jb’=[ρ’;θ’] zz’ = (aa’ – bb’) + j (ab’ + a’b) zz’ = [ ρρ’ ; θ + θ’]
P (zz’) + ρρ’ θ + θ’ M’ (z’) + ρ’ M (z) + θ’ θ ρ