Exercice 6 :   En novembre 76 au Texas qui compte 25 millions d’habitants, l’avocat d’un inculpé a contesté la sélection des jurés : il y avait 79,1% de Texans d’origine hispanique, et sur les 870 personnes convoquées en 1976 au tribunal d'Houston seules 339 étaient d’origine hispanique. La requête de l’avocat a- t-elle été reçue ?

On cherche si f est acceptable. Exercice 6 : Texas ( probabilité p ) jury ( taille n et fréquence f ) On cherche si f est acceptable. Si son échantillon est représentatif du phénomène aléatoire, selon le critère de confiance au seuil de 95% la fréquence sera dans l’intervalle [ p – 1/√n ; p + 1/√n ]. p = 79,1% = 79,1 / 100 = 0,791 [ p – 1/√n ; p + 1/√n ] = [ 0,791 – 1/√870 ; 0,791 + 1/√870 ] ≈ [ 0,7570 ; 0,8249 ] f = 339/870 ≈ 0,3896… 0,3896 n’est pas dans [ 0,7570 ; 0,8249 ] donc l’échantillon n’est pas acceptable, donc la requête de l’avocat a été reçue.

Exercice 7 : Avant le 1er tour de l’élection présidentielle de 2002 où 43 millions d’électeurs s’exprimèrent les sondages donnaient 18% pour Jospin et 14% pour LePen, avec une marge de 3%. 1°) Quel était le nombre de personnes de chaque sondage ? 2°) Pouvait-on prévoir que Jospin ferait moins bien que LePen au 1er tour ? …

Exercice 7 : 1°) Quel était le nombre de personnes de chaque sondage ? France ( probabilité p ) sondage ( taille n et fréquence f ) On cherche n Si l’échantillon est représentatif du phénomène aléatoire, selon le critère de confiance au seuil de 95% la fréquence sera dans l’intervalle [ p – 1/√n ; p + 1/√n ]. La valeur centrale est p puisque [ (p – 1/√n)+(p + 1/√n) ]/2 = [ p – 1/√n + p + 1/√n ]/2 = | 2p ]/2 = p donc p – ( p – 1/√n ) = ( p + 1/√n ) - p = 3% qui donnent 1/√n = 1/√n = 3% donc √n = 1/(3%) donc n = ( 1/(3%) )² ≈ 1111,11… donc le sondage a été fait sur 1111 personnes.

Exercice 7 : Avant le 1er tour de l’élection présidentielle de 2002 où 43 millions d’électeurs s’exprimèrent, les sondages donnaient 18% pour Jospin et 14% pour LePen, avec une marge de 3%. 2°) Pouvait-on prévoir que Jospin ferait moins bien que LePen au 1er tour ?     électeurs en France sondages A et B ( taille n et fréquence f ) ( probabilité p ) On cherche p Etude du candidat Jospin : p – 0,03 ≤ f ≤ p + 0,03 donne f – 0,03 ≤ p ≤ f + 0,03 ( même méthode qu’à l’exo 2 ) donc 0,18 – 0,03 ≤ p ≤ 0,18 + 0,03 donc 0,15 ≤ p ≤ 0,21 Etude du candidat Le Pen : p – 0,03 ≤ f ≤ p + 0,03 donne f – 0,03 ≤ p ≤ f + 0,03 ( même méthode qu’à l’exo 2 ) donc 0,15 – 0,03 ≤ p ≤ 0,15 + 0,03 donc 0,12 ≤ p ≤ 0,18 0,12 0,15 0,18 0,21 il y avait ce type de possibilités On pouvait le prévoir ! ( sans en être certain )

Exercice 8 : On connaît la proportion p d’un évènement dans la population française, et on sait que tout sondage de taille n tombera dans la fourchette 24,6% / 55,7%. Déterminez n et p. …

Exercice 8 : On connaît la proportion p d’un évènement dans la population française, et on sait que tout sondage de taille n tombera dans la fourchette 24,6% / 55,7%. Déterminez n et p.  France ( probabilité p ) sondage ( taille n et fréquence f ) On cherche n et p Si l’échantillon est représentatif du phénomène aléatoire, selon le critère de confiance au seuil de 95% la fréquence sera dans l’intervalle [ p – 1/√n ; p + 1/√n ]. donc [ p – 1/√n ; p + 1/√n ] = [ 0,246 ; 0,557 ] La valeur centrale est p et l’écart à cette valeur centrale est 1/√n donc p = ( 0,246 + 0,557 ) / 2 = 0,4015 donc 1/√n = 0,4015 – 0,246 = 0,557 – 0,4015 = 0,1555 √n = 1/0,1555 donc n = ( 1/0,1555)² ≈ 41,35… donc le sondage a été fait sur 41 personnes.