Information, Calcul, Communication Ce videoclip produit par l’Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne fait partie de son cours d’introduction à l’information, à la communication, et au calcul. Il s’inscrit dans le 2e module de ce cours qui porte sur les notions d’échantillonnage et de reconstruction de signaux puis introduit les notions d’entropie et de compression de l’information. Information, Calcul, Communication 2. Information & Communication – Leçon 2: Reconstruction Clip 1: Introduction O. Lévêque, commentaire: P. Janson

Plan de la leçon La reconstruction d’un signal La fonction sinusoïdale cardinale sinc Le théorème d’échantillonnage La preuve du théorème d’échantillonnage L’effet stroboscopique La 2e leçon de ce 2e module du cours est divisée en 5 videoclips. 1 Ce 1er clip va discuter la question de la reconstruction d’un signal préalablement échantillonné. 2 Le 2e clip introduira une fonction appelée sinusoïde cardinale qui joue un rôle essentiel dans la reconstruction de signaux. 3 Le 3e clip introduira le théorème d’échantillonnage, fondamental pour la reconstruction de signaux. 4 Le 4e clip offrira une ébauche de démonstration plus ou moins intuitive de ce théorème. 5 Le 5e et dernier clip reviendra sur l’effet stroboscopique et une façon de l’éviter.

Rappel - Echantillonnage Signal (X(t), t ∈ R) -> Ex: sinusoïde Tout signal est une somme de sinusoïdes Fréquence(s) présente(s) dans un signal Spectre Bande passante fmax Filtre passe-bas idéal & filtre à moyenne mobile Signal échantillonné (X(nTe), n ∈ Z) Te : période d’échantillonnage fe = 1/Te : fréquence d’échantillonnage Condition nécessaire pour pouvoir reconstruire le signal fe > 2fmax Sinon effet stroboscopique (fe ≤ 2fmax ) Pour rappel concernant l’échantillonnage de signaux discuté dans les clips de la 1e leçon: 1 Un signal est une fonction X(t) où le temps t est un nombre réel. 2 Tous les signaux intéressants en pratique sont des sommes de sinusoïdes. 3 Chacune de ces sinusoïdes présente une fréquence et une amplitude propres, dont le graphique fréquences-amplitudes définit ce qu’on appelle le spectre du signal … 4 … la sinusoïde de fréquence la plus haute définissant ce qu’on appelle sa bande passante. 5 Nous avons alors vu deux types de filtres permettant d’éliminer les hautes fréquences d’un signal: Les filtres passe-bas et les filtres à moyenne mobile. 6 Nous avons ensuite vu qu’un signal échantillonné est une fonction discrète X(nTe) où Te est la période d’échantillonnage (l’inverse de la fréquence d’échantillonnage) et n est un nombre entier. 7 Enfin nous avons suggéré que la condition nécessaire pour pouvoir reconstruire un signal échantillonné est que la fréquence d’échantillonnage soit au moins 2x supérieure à la fréquence maximale (donc à la bande passante) du signal original.

Reconstruction parfaite … pas toujours évidente Comment reconstruire un signal (X(t),t∈ R) à partir de sa version échantillonnée (X(nTe),n∈ Z)? => Dans certains cas, c’est assez clair... => Dans d’autres cas, ça l’est beaucoup moins! ???? La question centrale du présent videoclip est comment reconstruire un signal X(t) à partir de sa version échantillonnée X(nTe). 1 Dans certains cas c’est assez facile … 2 … par contre dans d’autres cas c’est beaucoup moins évident.

1e technique – Relier les points … Discontinuités Dans l’exemple précédent, ça donne ceci Principal défaut: la “courbe” obtenue n’est pas régulière Une 1e technique pourrait être simplement de relier entre eux tous les points échantillonnés. 1 On voit évidemment que le signal ainsi reconstruit est éminemment irrégulier, tout a fait anguleux par rapport au signal original qui était sûrement une courbe plus lisse et fluide.

2e technique – Utiliser un polynôme … Compliqué Trouver un polynôme qui passe par tous les points Premier désavantage Avec N points, il faut trouver un polynôme de degré N −1 => La procédure est complexe Deuxième désavantage Si on modifie un point, le polynôme peut changer du tout au tout => La procédure est également instable Une 2e technique pourrait être de tenter de trouver une courbe polynomiale, lisse et fluide, passant par tous les points échantillonnés. 1 Le 1er problème de cette idée est que pour N points échantillonnés il faudrait définir un polynôme de degré N-1, dont les coefficients ne seraient pas du tout évidents à ajuster. 2 Le 2e problème de cette idée est que si on modifiait un seul échantillon le polynôme devrait chaque fois être complètement recalibré, ce qui serait une façon de procéder éminemment instable.

3e technique – Interpoler De façon générale une formule d’interpolation pour X(t) peut s’écrire 𝑋𝐼 𝑡 = 𝑛∈𝑍 𝑋 𝑛𝑇𝑒 𝐹( 𝑡 − 𝑛𝑇𝑒 𝑇𝑒 ) où la fonction F: R→R doit être telle que F(0)=1 et F(k)=0 pour tout k∈ Z* de telle sorte que XI(nTe) = X(nTe) pour tout n∈ Z => Toute la question réside dans le choix de cette fonction F La 3e et bonne technique consiste à tenter de reconstruire le signal original par interpolation entre les points échantillonnés. D’une façon générale une fonction d’interpolation peut s’écrire 𝑋𝐼 𝑡 = 𝑛∈𝑍 𝑋 𝑛𝑇𝑒 𝐹( 𝑡 − 𝑛𝑇𝑒 𝑇𝑒 ) où la fonction F serait telle que F(0) vaille 1 et F(k) vaille 0 pour tout k entier non nul. De cette façon on voit bien que le signal reconstruit Xi(t) est exactement identique au signal original au moins en tous les points échantillonnés. 1 Toute la question réside maintenant dans un choix judicieux de cette fonction F tel qu’elle assure aussi que le signal reconstruit colle autant que possible au signal original ENTRE les points échantillonnés.

3e technique – Interpoler avec une fonction F Pour « relier les points » selon la 1e technique, la fonction F serait 𝐹 𝑡 = 1− 𝑡 𝑠𝑖 𝑡 ≤1 0 𝑠𝑖 𝑡 ≥1 Mais on peut faire mieux si on choisit la fonction F telle que 𝐹 𝑡 =(1−𝑡)(1+𝑡)(1−𝑡/2)(1+𝑡/2)(1−𝑡/3)(1+𝑡/3)… => Cette fonction est régulière et telle que F(0) = 1 et F(k) = 0 pour tout k ∈ Z* On pourrait imaginer une fonction F qui vaille 1-|t| tant que |t| est ≤1 et 0 dès que 𝑡 est≥1. Une telle fonction mènerait cependant au même signal «cassé» que la 1e technique de simple reliage des points. 1 Trouver une bonne fonction F a demandé beaucoup de travail et d’imagination. Pour lors on vous demande d’accepter qu’une bonne solution est la fonction 𝐹 𝑡 =(1−𝑡)(1+𝑡)(1−𝑡/2)(1+𝑡/2)(1−𝑡/3)(1+𝑡/3)… qui est régulière, lisse et fluide, et en effet conforme aux conditions que F(0) = 1 et F(k) = 0 pour tout k entier non nul.

3e technique – Interpolation avec la fonction F = sinc Il se trouve que cette fonction F(t) est identique à la fonction F(t) = sin(πt) / πt t ∈ R qu’on appelle sinusoïde cardinale sinc(t) et qui mènerait dans l’exemple antérieur à la fonction d’interpolation 𝑋𝐼 𝑡 = 𝑛∈𝑍 𝑋 𝑛𝑇𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑐( 𝑡 − 𝑛𝑇𝑒 𝑇𝑒 ) On vous demande en plus d’accepter que cette fonction F(t) est en fait identique à la fonction F(t) = sin(πt) / πt qu’on appelle la fonction sinusoïde cardinale, qu’on note sinc(t), et dont la représentation graphique est donnée ci-contre. 1 Si on reporte maintenant cette fonction F = sinc dans la formule d’interpolation cela donne 𝑋𝐼 𝑡 = 𝑛∈𝑍 𝑋 𝑛𝑇𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑐( 𝑡 − 𝑛𝑇𝑒 𝑇𝑒 )

3e technique – Formule d’interpolation Pour retrouver un signal à partir de sa version échantillonnée on a donc maintenant une formule d’interpolation 𝑋𝐼 𝑡 = 𝑛∈𝑍 𝑋 𝑛𝑇𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑐( 𝑡 − 𝑛𝑇𝑒 𝑇𝑒 ) Il reste une question cruciale à résoudre Quand est-ce que XI(t)=X(t) pour tout t∈ R? En conclusion de ce 1er clip on peut donc dire que la reconstruction d’un signal à partir de sa version échantillonnée est possible grâce à la formule d’interpolation 𝑋𝐼 𝑡 = 𝑛∈𝑍 𝑋 𝑛𝑇𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑐( 𝑡 − 𝑛𝑇𝑒 𝑇𝑒 ) 1 La question qui va maintenant nous occuper dans les 4 clips restants de cette leçon est dans quelles conditions un signal Xi(t) ainsi reconstruit est bien égal en tout temps t au signal original X(t).